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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 6.6 - Ex. 56

Nos exercícios 55 a 58 , encontrar o valor máximo da derivada direcional do campo escalar dado, nos pontos indicados:

f x ,   y ,   z = x 2 + 2 x y + z 2 ; P 0 0 ,   0 ,   0 ,   P 1 ( 1 ,   2 ,   2 )

Passo 1

Pra calcular a derivada direcional do campo, a primeira coisa que vamos ter que fazer é calcular o gradiente desse campo. Bom, isso a gente sabe fazer, né? Se a nossa função for f → , o gradiente vai ser dado por:

g r a d   f → = ∇ f → = ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j → + ∂ f ∂ z k →

Então vamos começar o trabalho calculando as derivadas parciais.

Passo 2

Bora lá! A função é:

f x ,   y ,   z = x 2 + 2 x y + z 2

Calculando as derivadas parciais:

∂ f ∂ x = 2 x + 2 y

∂ f ∂ y = 2

∂ f ∂ z = 2 z

Assim,

∇ f → = 2 x + 2 y i → + 2 j → + 2 z k →

Passo 3

E o valor máximo da derivada direcional vai ser igual ao módulo do gradiente! Vamos substituir os pontos P 0 e P 1 na expressão e calcular o módulo, e aí acabou.

∇ f → P 0 = ∇ f → 0 ,   0 ,   0 = 0 i → + 2 j → + 0 k → = 2 j →

∇ f → P 1 = ∇ f → 1 ,   2 ,   2 = 2 + 4 i → + 2 j → + 4 k → = 6 i → + 2 j → + 4 k →

Os valores do gradiente nesses pontos são:

∇ f → P 0 = 2 2 = 2

∇ f → P 1 = 6 2 + 2 2 + 4 2 = 5 6 = 2 14

Esse é o módulo máximo da derivada direcional!

Resposta

Em P 0 : ∇ f → P 0 = 2

Em P 1 :

∇ f → P 1 = 2 14

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