Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre

f x , y , z = x + y z

1,1 , - 1

Passo 1

Oie, vou e ajudar a resolver essa atividade.

Dada a função:

f x , y , z = x + y z

O problema pede para acharmos a derivada direcional máxima de f no ponto dado.

Primeiramente calculamos as derivadas parciais das coordenadas, com isso podemos montar a regra geral do vetor gradiente.

Depois, substituímos as coordenadas pelos valores dos pontos dados. Dado que o vetor gradiente é:

∇ f x , y , z = f x , f y , f z

Para achar a taxa derivação máxima basta calcular o módulo do vetor gradiente.

∇ f 1 , 1 , - 1

Para achar a taxa derivação máxima basta calcular o módulo do vetor gradiente.

Passo 2

Vamos calcular o gradiente da nossa função:

f x , y , z = x + y z

Derivando em relação a x :

f x = ∂ ∂ x x + y z = 1 z

Agora derivando em relação a y :

f y = ∂ ∂ y x + y z = 1 z

E por ultimo derivamos em relação a z :

f z = ∂ ∂ z x + y z = - x + y z 2

Então temos que nosso gradiente é:

∇ f x , y , z = 1 z , 1 z , - x + y z 2

Passo 3

Agora substituímos na equação o ponto que foi dado:

∇ f x , y , z = 1 z , 1 z , - x + y z 2

∇ f 1,1 , - 1 = - 1 , - 1 , - 2

Essa aqui é a direção!

A magnitude é dada por ∇ f

∇ f 1,1 , - 1 = - 1 2 + - 1 2 + - 2 2

∇ f 1,1 , - 1 = 6

Belezinha! Terminamos aqui, forte abraço e até a próxima.

Resposta

∇ f 1,1 , - 1 = - 1 , - 1 , - 2

∇ f 1,1 , - 1 = 6

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