Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem

Passo 1

Seja a função: f x , y = x 3 y 5 + 2 x 4 y

Para obter f x x , temos de obter, primeiro, f x e, em seguida, derivar novamente em relação a x . Nesse caso, estamos considerando y constante em ambas as derivações.

f x = 3 x 2 y 5 + 8 x 3 y

f x x = 6 x y 5 + 24 x 2 y

Passo 2

Para obter f y y , temos de obter, primeiro, f y e, em seguida, derivar novamente em relação a y . Nesse caso, estamos considerando x constante em ambas as derivações.

f y = 5 x 3 y 4 + 2 x 4

f y y = 20 x 3 y 3

Passo 3

Para obter f x y , vamos pegar a nossa derivada em relação a x e então derivar em relação a y .

f x = 3 x 2 y 5 + 8 x 3 y

f x y = 15 x 2 y 4 + 8 x 3

Como f x y é uma função contínua (todo polinômio é uma função contínua), pelo Teorema de Clairaut, podemos afirmar que f x y = f y x

Resposta

f x x = 6 x y 5 + 24 x 2 y

f y y = 20 x 3 y 3

f x y = f y x = 15 x 2 y 4 + 8 x 3

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Seja f: A ∈ R^3 → R , A aberto de classe C^2 Justifique as igualdades:a) ∂²f / ∂x ∂y = ∂²f / ∂y ∂x b) ∂²f / (∂x ∂z) = ∂²f / (∂z ∂x) c) ∂²f / ∂y ∂z = ∂²f / ∂z ∂y
Sejam f , g : A ∈ R 2 → R , A aberto, duas funções de classe C 2 e tais que ∂ f ∂ x = ∂ g ∂ y e ∂ f ∂ y = - ∂ g ∂ x Prove que ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 e ∂ 2 g ∂ x 2 + ∂ 2 g ∂ y 2 = 0 .
Verifique que x * (∂²z / ∂x ∂y) + y * (∂²z / ∂y²) = 0 , onde z = (x + y) * e^(x / y)
Seja f(x, y) = 1 / (x^2 + y^2) . Verifique que a) x * (∂²f/∂x²)(x, y) + y * (∂²f/∂y∂x)(x, y) = -3 * (∂f/∂x)(x, y) b) ∂²f/∂x²(x, y) + ∂²f/∂y²(x, y) = 4 / (raiz(x² + y²)²)
Calcule todas as derivadas parciais de 2ª ordem:a) f(x, y) = x^3 * y^2 b) z = e^(x^2 - y^2) c) z = ln(1 + x^2 + y^2) d) g(x, y) = 4 * x^3 * y^4 + y^3