Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem

Passo 1

Seja a função: f x , y = x 3 y 5 + 2 x 4 y

Para obter f x x , temos de obter, primeiro, f x e, em seguida, derivar novamente em relação a x . Nesse caso, estamos considerando y constante em ambas as derivações.

f x = 3 x 2 y 5 + 8 x 3 y

f x x = 6 x y 5 + 24 x 2 y

Passo 2

Para obter f y y , temos de obter, primeiro, f y e, em seguida, derivar novamente em relação a y . Nesse caso, estamos considerando x constante em ambas as derivações.

f y = 5 x 3 y 4 + 2 x 4

f y y = 20 x 3 y 3

Passo 3

Para obter f x y , vamos pegar a nossa derivada em relação a x e então derivar em relação a y .

f x = 3 x 2 y 5 + 8 x 3 y

f x y = 15 x 2 y 4 + 8 x 3

Como f x y é uma função contínua (todo polinômio é uma função contínua), pelo Teorema de Clairaut, podemos afirmar que f x y = f y x

Resposta

f x x = 6 x y 5 + 24 x 2 y

f y y = 20 x 3 y 3

f x y = f y x = 15 x 2 y 4 + 8 x 3

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