Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 14.3 - Ex. 51
Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem
Passo 1
Seja a função:
Para obter temos de obter, primeiro, e, em seguida, derivar novamente em relação a . Nesse caso, estamos considerando constante em ambas as derivações.
Passo 2
Para obter temos de obter, primeiro, e, em seguida, derivar novamente em relação a . Nesse caso, estamos considerando constante em ambas as derivações.
Passo 3
Para obter vamos pegar a nossa derivada em relação a e então derivar em relação a .
Como é uma função contínua (todo polinômio é uma função contínua), pelo Teorema de Clairaut, podemos afirmar que
Resposta
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Seja f : A ∈ R 3 → R , A aberto de classe C 2 Justifique as igualdades:a) ∂ 2 f ∂ x ∂ y = ∂ 2 f ∂ y ∂ x b) ∂ 2 f ∂ x ∂ z = ∂ 2 f ∂ z ∂ x c) ∂ 2 f ∂ y ∂ z = ∂ 2 f ∂ z ∂ y
Sejam f , g : A ∈ R 2 → R , A aberto, duas funções de classe C 2 e tais que ∂ f ∂ x = ∂ g ∂ y e ∂ f ∂ y = - ∂ g ∂ x Prove que ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 e ∂ 2 g ∂ x 2 + ∂ 2 g ∂ y 2 = 0 .
Verifique que x ∂ 2 z ∂ x ∂ y + y ∂ 2 z ∂ y 2 = 0 , onde z = x + y e x y .
Seja f x , y = 1 x 2 + y 2 . Verifique que a) x ∂ 2 f ∂ x 2 x , y + y ∂ 2 f ∂ y ∂ x x , y = - 3 ∂ f ∂ x x , y b) ∂ 2 f ∂ x 2 x , y + ∂ 2 f ∂ y 2 x , y = 4 x 2 + y 2 2
Calcule todas as derivadas parciais de 2ª ordem:a) f x , y = x 3 y 2 b) z = e x 2 - y 2 c) z = ln 1 + x 2 + y 2 d) g x , y = 4 x 3 y 4 + y 3