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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 14.1 - Ex. 4

Verifique que x (del^2 z)/(del x del y) + y (del^2 z)/(del y^2) = 0 , onde z = (x + y) e^((x)/(y)) .

Passo 1

O enunciado dos dá uma função z de daus variáveis e nos pede para mostrar uma relação matemática a partir da z .

A único que devemos fazer para resolver esta questão é determinar as derivadas 2ªs da z e substituir na equação dada, através de muito trabalho braçal e regra da cadeia. Então, vamos nessa!

Passo 2

É necessário que primeiramente calculemos as derivadas 1ªs da z . E não tem mistério! Só devemos ter muita calma na hora de obter as derivadas para não ir acumulando erros.

Primeiramente, as derivadas de primeira ordem dessa função (no caso só precisamos de (del z)/(del y) ) são o mais fácil de obter (usando a redra da cadeia):

(del z)/(del y) = (del)/(del y) [(x + y) e^((x)/(y))] = (x + y) (del)/(del y) [e^((x)/(y))] + e^((x)/(y)) (del)/(del y) [(x + y)] = (x + y) e^((x)/(y)) (- (x)/(y^2)) + e^((x)/(y))

Arrumando um pouquinho, resulta no seguinte:

(del z)/(del y) = e^((x)/(y)) (1 - (x^2)/(y^2) - (x)/(y))

Passo 3

Agora, com muito cuidado, vamos calcular as derivadas segundas que precisamos a partir dos valores que acabamos de obter (usando bastante regra da cadeia!):

(del^2 z)/(del x del y) = (del)/(del x) [(del z)/(del y)] = (del)/(del x) [e^((x)/(y)) (1 - (x^2)/(y^2) - (x)/(y))] = e^((x)/(y)) (del)/(del x) [(1 - (x^2)/(y^2) - (x)/(y))] + (1 - (x^2)/(y^2) - (x)/(y)) (del)/(del x) [e^((x)/(y))] = e^((x)/(y)) (- 2 (x)/(y^2) - (1)/(y)) + (1 - (x^2)/(y^2) - (x)/(y)) e^((x)/(y)) (1)/(y)

(del^2 z)/(del y^2) = (del)/(del y) [(del z)/(del y)] = (del)/(del y) [e^((x)/(y)) (1 - (x^2)/(y^2) - (x)/(y))] = e^((x)/(y)) (del)/(del y) [(1 - (x^2)/(y^2) - (x)/(y))] + (1 - (x^2)/(y^2) - (x)/(y)) (del)/(del y) [e^((x)/(y))] = e^((x)/(y)) (2 (x^2)/(y^3) + (x)/(y^2)) + (1 - (x^2)/(y^2) - (x)/(y)) e^((x)/(y)) (- (x)/(y^2))

Arrumando a casa um pouquinho, obtemos as derivadas segundas:

(del^2 z)/(del x del y) = e^((x)/(y)) [- 2 (x)/(y^2) + (1)/(y) - (1)/(y) - (x^2)/(y^3) - (x)/(y^2)] = e^((x)/(y)) [- (x^2)/(y^3) - 3 (x)/(y^2)]

(del^2 z)/(del y^2) = e^((x)/(y)) [2 (x^2)/(y^3) + (x)/(y^2) - (x)/(y^2) + (x^3)/(y^4) + (x^2)/(y^3)] = e^((x)/(y)) [3 (x^2)/(y^3) + (x^3)/(y^4)]

Passo 4

Agora que o trabalho braçal ficou pra trás (ufff!) é tranquilo e favorável: vamos substituir o que obtivemos no lado esquerdo da equação dada e ver se bate com o lado direito.

Assim, temos

x (del^2 z)/(del x del y) + y (del^2 z)/(del y^2) = x e^((x)/(y)) [- (x^2)/(y^3) - 3 (x)/(y^2)] + y e^((x)/(y)) [3 (x^2)/(y^3) + (x^3)/(y^4)]

Dai,

x (del^2 z)/(del x del y) + y (del^2 z)/(del y^2) = e^((x)/(y)) {[- (x^3)/(y^3) - 3 (x^2)/(y^2)] + [3 (x^2)/(y^2) + (x^3)/(y^3)]}

Note que os termos cancelam entre si, ou seja

x (del^2 z)/(del x del y) + y (del^2 z)/(del y^2) = 0

Que é o que queríamos provar!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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