Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 14.1 - Ex. 2
Seja . Verifique que
a)
b)
Passo 1
O enunciado dos dá uma função de duas variáveis e nos pede para mostrar duas relações matemáticas a partir da .
A único que devemos fazer para resolver esta questão é determinar as derivadas 2ªs da e substituir na equação dada, então, vamos nessa!
Passo 2
Para ambos os itens, é necessário que primeiramente calculemos as derivadas 2ªs da . E não tem mistério! Só devemos ter muita calma na hora de obter as derivadas para não ir acumulando erros.
Primeiramente, as derivadas de primeira ordem dessa função são o mais fácil de obter:
Agora, com muito cuidado, vamos calcular as derivadas segundas a partir dos valores que acabamos de obter (usando a regra da cadeia!):
Arrumando a casa um pouquinho, obtemos as derivadas segundas:
Passo 3
Agora que o trabalho braçal ficou pra trás (ufff!) é tranquilo e favorável: vamos substituir o que obtivemos no lado esquerdo da equação dada e ver se bate com o lado direito.
Assim, para o item a):
Note que podemos desenvolver ainda mais ô:
Agora, se voltarmos na nossa expressão para , poderemos confirmar que a equação acima é igualzinha a , como queríamos provar!
Passo 4
Agora que o trabalho braçal ficou pra trás (ufff!) é tranquilo e favorável: vamos substituir o que obtivemos no lado esquerdo da equação dada e ver se bate com o lado direito.
Assim, para o item b):
Note que podemos desenvolver ainda mais simplificando a fração:
Que é o que queríamos provar!!
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)