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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 14.1 - Ex. 1

Calcule todas as derivadas parciais de 2ª ordem:

a) f x , y = x 3 y 2

b) z = e x 2 - y 2

c) z = ln ⁡ 1 + x 2 + y 2

d) g x , y = 4 x 3 y 4 + y 3

Passo 1

O enunciado dos dá um bocado de funções de duas variáveis x e y e nos pede encontrar todas as derivadas parciais DE SEGUNDA ORDEM das funções.

Não tem jeito mesmo, vai ter que ser no braço! Vamos nessa!

Termos que calcular inicialmente as derivadas primeiras ( ∂ ∂ x e ∂ ∂ y ) e depois derivar as próprias derivadas para sair com o resultado ( ∂ 2 ∂ x 2 , ∂ 2 ∂ x ∂ y , ∂ 2 ∂ y ∂ x e ∂ 2 ∂ y 2 ).

Passo 2

Para a letra a), temos f x , y = x 3 y 2 . E não tem mistério! Só devemos ter muita calma na hora de obter as derivadas para não ir acumulando erros.

Primeiramente, as derivadas de primeira ordem dessa função são o mais fácil de obter:

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x x 3 y 2 = 3 x 2 y 2

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y x 3 y 2 = 2 x 3 y

Agora, com muito cuidado, vamos calcular as derivadas segundas a partir dos valores que acabamos de obter:

∂ 2 f ∂ x 2 = ∂ ∂ x ∂ f ∂ x = ∂ ∂ x 3 x 2 y 2 = 6 x y 2

∂ 2 f ∂ x ∂ y = ∂ ∂ x ∂ f ∂ y = ∂ ∂ x 2 x 3 y = 6 x 2 y

∂ 2 f ∂ y ∂ x = ∂ ∂ y ∂ f ∂ x = ∂ ∂ y 3 x 2 y 2 = 6 x 2 y

∂ 2 f ∂ y 2 = ∂ ∂ y ∂ f ∂ y = ∂ ∂ y 2 x 3 y = 2 x 3

Derivada na veia! Note que, neste caso, ∂ 2 f ∂ x ∂ y = ∂ 2 f ∂ y ∂ x (esta é uma maneira útil de verificar se nossas contas estão certas).

Passo 3

Para a letra b), temos z = e x 2 - y 2 . E não tem mistério! Só devemos ter muita calma na hora de obter as derivadas para não ir acumulando erros.

Primeiramente, as derivadas de primeira ordem dessa função são o mais fácil de obter:

∂ z ∂ x = ∂ ∂ x e x 2 - y 2 = 2 x e x 2 - y 2

∂ z ∂ y = ∂ ∂ y e x 2 - y 2 = - 2 y e x 2 - y 2

Agora, com muito cuidado, vamos calcular as derivadas segundas a partir dos valores que acabamos de obter (usaremos a regra da cadeia!):

∂ 2 z ∂ x 2 = ∂ ∂ x ∂ z ∂ x = ∂ ∂ x 2 x e x 2 - y 2 = 2 x ∂ ∂ x e x 2 - y 2 + e x 2 - y 2 ∂ ∂ x 2 x = 4 x 2 e x 2 - y 2 + 2 e x 2 - y 2

∂ 2 z ∂ x ∂ y = ∂ ∂ x ∂ z ∂ y = ∂ ∂ x - 2 y e x 2 - y 2 = - 4 y x e x 2 - y 2

∂ 2 z ∂ y ∂ x = ∂ ∂ y ∂ z ∂ x = ∂ ∂ y 2 x e x 2 - y 2 = - 4 y x e x 2 - y 2

∂ 2 z ∂ y 2 = ∂ ∂ y ∂ z ∂ y = ∂ ∂ y - 2 y e x 2 - y 2 = - 2 y ∂ ∂ y e x 2 - y 2 + e x 2 - y 2 ∂ ∂ y - 2 y = 4 y 2 e x 2 - y 2 - 2 e x 2 - y 2

Derivada na veia! Note que, neste caso, ∂ 2 z ∂ x ∂ y = ∂ 2 z ∂ y ∂ x (esta é uma maneira útil de verificar se nossas contas estão certas).

Passo 4

Para a letra c), temos z = ln ⁡ 1 + x 2 + y 2 . E não tem mistério! Só devemos ter muita calma na hora de obter as derivadas para não ir acumulando erros.

Primeiramente, as derivadas de primeira ordem dessa função são o mais fácil de obter:

∂ z ∂ x = ∂ ∂ x ln ⁡ 1 + x 2 + y 2 = 1 1 + x 2 + y 2 2 x

∂ z ∂ y = ∂ ∂ y ln ⁡ 1 + x 2 + y 2 = 1 1 + x 2 + y 2 2 y

Agora, com muito cuidado, vamos calcular as derivadas segundas a partir dos valores que acabamos de obter (usaremos a regra da cadeia!):

∂ 2 z ∂ x 2 = ∂ ∂ x ∂ z ∂ x = ∂ ∂ x 1 1 + x 2 + y 2 2 x = 2 x ∂ ∂ x 1 1 + x 2 + y 2 + 1 1 + x 2 + y 2 ∂ ∂ x 2 x = 2 x - 2 x 1 + x 2 + y 2 2 + 1 1 + x 2 + y 2 2

∂ 2 z ∂ x ∂ y = ∂ ∂ x ∂ z ∂ y = ∂ ∂ x 1 1 + x 2 + y 2 2 y = - 2 x 1 + x 2 + y 2 2 2 y

∂ 2 z ∂ y ∂ x = ∂ ∂ y ∂ z ∂ x = ∂ ∂ y 1 1 + x 2 + y 2 2 x = - 2 y 1 + x 2 + y 2 2 2 x

∂ 2 z ∂ y 2 = ∂ ∂ y ∂ z ∂ y = ∂ ∂ y 1 1 + x 2 + y 2 2 y = 2 y ∂ ∂ y 1 1 + x 2 + y 2 + 1 1 + x 2 + y 2 ∂ ∂ y 2 y = 2 y - 2 y 1 + x 2 + y 2 2 + 1 1 + x 2 + y 2 2

Derivada na veia! Note que, neste caso, ∂ 2 z ∂ x ∂ y = ∂ 2 z ∂ y ∂ x (esta é uma maneira útil de verificar se nossas contas estão certas).

Passo 5

Para a letra d), temos g x , y = 4 x 3 y 4 + y 3 . E não tem mistério! Só devemos ter muita calma na hora de obter as derivadas para não ir acumulando erros.

Primeiramente, as derivadas de primeira ordem dessa função são o mais fácil de obter:

∂ g ∂ x = ∂ ∂ x 4 x 3 y 4 + y 3 = 12 x 2 y 4

∂ g ∂ y = ∂ ∂ y 4 x 3 y 4 + y 3 = 16 x 3 y 3 + 3 y 2

Agora, com muito cuidado, vamos calcular as derivadas segundas a partir dos valores que acabamos de obter:

∂ 2 g ∂ x 2 = ∂ ∂ x ∂ g ∂ x = ∂ ∂ x 12 x 2 y 4 = 24 x y 4

∂ 2 g ∂ x ∂ y = ∂ ∂ x ∂ g ∂ y = ∂ ∂ x 16 x 3 y 3 + 3 y 2 = 48 x 2 y 3

∂ 2 g ∂ y ∂ x = ∂ ∂ y ∂ g ∂ x = ∂ ∂ y 12 x 2 y 4 = 48 x 2 y 3

∂ 2 g ∂ y 2 = ∂ ∂ y ∂ g ∂ y = ∂ ∂ y 16 x 3 y 3 + 3 y 2 = 48 x 3 y 2 + 6 y

Derivada na veia! Note que, neste caso, ∂ 2 g ∂ x ∂ y = ∂ 2 g ∂ y ∂ x (esta é uma maneira útil de verificar se nossas contas estão certas).

Resposta

a)

∂ 2 f ∂ x 2 = 6 x y 2

∂ 2 f ∂ x ∂ y = 6 x 2 y

∂ 2 f ∂ y ∂ x = 6 x 2 y

∂ 2 f ∂ y 2 = 2 x 3

b)

∂ 2 z ∂ x 2 = 4 x 2 e x 2 - y 2 + 2 e x 2 - y 2

∂ 2 z ∂ x ∂ y = - 4 y x e x 2 - y 2

∂ 2 z ∂ y ∂ x = - 4 y x e x 2 - y 2

∂ 2 z ∂ y 2 = 4 y 2 e x 2 - y 2 - 2 e x 2 - y 2

c)

∂ 2 z ∂ x 2 = 2 x - 2 x 1 + x 2 + y 2 2 + 1 1 + x 2 + y 2 2

∂ 2 z ∂ x ∂ y = - 2 x 1 + x 2 + y 2 2 2 y

∂ 2 z ∂ y ∂ x = - 2 y 1 + x 2 + y 2 2 2 x

∂ 2 z ∂ y 2 = 2 y - 2 y 1 + x 2 + y 2 2 + 1 1 + x 2 + y 2 2

d)

∂ 2 g ∂ x 2 = 24 x y 4

∂ 2 g ∂ x ∂ y = 48 x 2 y 3

∂ 2 g ∂ y ∂ x = 48 x 2 y 3

∂ 2 g ∂ y 2 = 48 x 3 y 2 + 6 y

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