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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 14.1 - Ex. 5

Sejam f , g : A ∈ R 2 → R , A aberto, duas funções de classe C 2 e tais que

∂ f ∂ x = ∂ g ∂ y e ∂ f ∂ y = - ∂ g ∂ x

Prove que

∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 e ∂ 2 g ∂ x 2 + ∂ 2 g ∂ y 2 = 0 .

Passo 1

O enunciado dos dá duas funções de duas variáveis ( x e y ) e nos pede para mostrar um par de relações matemáticas.

Aqui, tanto f quanto g são desconhecidas! O enunciado só nos fornece uma relação entre elas.

Este exercício pode ser facilmente resolvido se você usar a informação de que tanto f quanto g são de classe C 2 . (Lembre que, neste caso, as derivadas em x e y podem ser invertidas!)

Passo 2

Pra começar, vamo tentar calcular diretamente o valor de ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 , assim:

∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = ∂ ∂ x ∂ f ∂ x + ∂ ∂ y ∂ f ∂ y

Agora, usando as informações do enunciado, obtemos

∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = ∂ ∂ x ∂ g ∂ y + ∂ ∂ y - ∂ g ∂ x = ∂ 2 g ∂ x ∂ y - ∂ 2 g ∂ y ∂ x

Agora, invocamos a solene definição de uma função classe C 2 : “Se g for de classe C 2 , então a ordem das derivadas não afeta o resultado. Ou seja ∂ 2 g ∂ x ∂ y = ∂ 2 g ∂ y ∂ x ”. Usando esta definição, demonstramos que

∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0

Passo 3

A prova de que ∂ 2 g ∂ x 2 + ∂ 2 g ∂ y 2 = 0 é completamente análoga ao caso anterior. Basta desenvolvermos a expressão e aplicarmos o fato de que f é de classe C 2 . A resposta surgirá de imediato!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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