Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 14.1 - Ex. 5
Sejam , aberto, duas funções de classe e tais que
e
Prove que
e .
Passo 1
O enunciado dos dá duas funções de duas variáveis ( e ) e nos pede para mostrar um par de relações matemáticas.
Aqui, tanto quanto são desconhecidas! O enunciado só nos fornece uma relação entre elas.
Este exercício pode ser facilmente resolvido se você usar a informação de que tanto quanto são de classe . (Lembre que, neste caso, as derivadas em e podem ser invertidas!)
Passo 2
Pra começar, vamo tentar calcular diretamente o valor de , assim:
Agora, usando as informações do enunciado, obtemos
Agora, invocamos a solene definição de uma função classe : “Se for de classe , então a ordem das derivadas não afeta o resultado. Ou seja ”. Usando esta definição, demonstramos que
Passo 3
A prova de que é completamente análoga ao caso anterior. Basta desenvolvermos a expressão e aplicarmos o fato de que é de classe . A resposta surgirá de imediato!
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)