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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.Revisão - Ex. 38

Encontre a área da parte do cone z 2 = a 2 ⋅ ( x 2 + y 2 ) entre os planos

z = 1 e z = 2

Passo 1

Olá pessoal, tudo bem? Vamos para mais uma questão?? Temo um cone qualquer do tipo:

z 2 = a 2 ⋅ x 2 + y 2

Limitado entre os planos z = 1 e z = 2 e precisamos encontrar a área do envoltório desse cone entre esses planos.

Temos que no plano x y , o que teremos que calcular será a área do seguinte trapézio

Porém, integrar essa função exige um trabalho muito maior do que se aplicarmos uma mudança de variavel. Podemos utilizar cordenadas polares para facilitar.

Passo 2

Temos que a superficie está limitada por z = 1 e z = 2 . Assim, temos as seguintes equações

a 2 ⋅ x 2 + y 2 = 1

a 2 ⋅ x 2 + y 2 = 4

Aplicando a transformação x = ρ ⋅ cos ⁡ θ , y = ρ ⋅ sin ⁡ θ e substituindo na equação, ficamos com

a 2 ⋅ ρ ⋅ cos ⁡ θ 2 + ρ ⋅ sin ⁡ θ 2 = 1

a 2 ⋅ ρ ⋅ cos ⁡ θ 2 + ρ ⋅ sin ⁡ θ 2 = 4

Chegamos então que ρ varia da seguinte forma:

1 a �� ρ ≤ 2 a

E como se trata de um cone, temos que θ irá variar como

0 ≤ θ ≤ 2 ⋅ π

Passo 3

Uma vez definido os limites de integração, podemos começar a integral.

Integrando agora, temos que a área é dada por

∫ d A = ∫ ∫ J ⋅ d ρ ⋅ d θ

O jacobiano é o determinante de uma matriz jacobiana que é a derivada parcial da função transformação em relação a cada variável dependente.

Onde o jacobiano é dado por

J = ∂ x ∂ p ∂ x ∂ θ ∂ y ∂ p ∂ y ∂ θ = ρ

Fazendo as derivadas parciais temos:

∂ ( ρ ⋅ cos ⁡ θ ) ∂ p ∂ ( ρ ⋅ cos ⁡ θ ) ∂ θ ∂ ( ρ ⋅ sen ⁡ θ ) ∂ p ∂ ( ρ ⋅ sen ⁡ θ ) ∂ θ =   cos ⁡ θ - p sen ⁡ θ sen ⁡ θ p cos ⁡ θ

Fazendo o determinante:

p cos 2 ⁡ θ - ( - p sen 2 ⁡ θ ) =   p cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ

Lembre-se que:

cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ = 1

Ou seja:

J = p

Substituindo então na integral, temos que:

∫ 0 2 ⋅ π d θ ∫ 1 a 2 a ρ ⋅ d ρ = 2 ⋅ π ⋅ ρ 2 2 1 a 2 a = 3 a 2 ⋅ π = A

Resposta

A = 3 a 2 ⋅ π

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