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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.3 - Ex. 86

Mostre que as funções nos Exercícios 81-87 são todas soluções da equação de onda.

Passo 1

Somos solicitados a verificar se a função w(x,t) satisfaz a equação de onda unidimensional. Lembre-se de que a equação de onda unidimensional tem uma forma:

∂ 2 w ∂ t 2 = c 2 ∂ 2 w ∂ x 2

Portanto, nossa tarefa é encontrar derivadas parciais de segunda ordem de w em relação a x e t e inseri-las na equação.

Passo 2

w ( x , t ) = 5 c o s ⁡ ( 3 x + 3 c t ) + e x + c t ∂ w ∂ t = - 5 s i n ⁡ ( 3 x + 3 c t ) 3 c + c e x + c t = - 15 c s i n ⁡ ( 3 x + 3 c t ) + c e x + c t ∂ w ∂ x = - 5 s i n ⁡ ( 3 x + 3 c t ) 3 + e x + c t = - 15 s i n ⁡ ( 3 x + 3 c t ) + e x + c t ∂ 2 w ∂ t 2 = - 15 c c o s ⁡ ( 3 x + 3 c t ) 3 c + c 2 e x + c t = - 45 c 2 c o s ⁡ ( 3 x + 3 c t ) + c 2 e x + c t = c 2 - 45 c o s ⁡ ( 3 x + 3 c t ) + e x + c t ∂ 2 w ∂ x 2 = - 15 c o s ⁡ ( 3 x + 3 c t ) 3 + e x + c t = - 45 c o s ⁡ ( 3 x + 3 c t ) + e x + c t

Passo 3

Provamos!!!!

Resposta

Ver o desenvolvimento.

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Dada a função vec f (x , y) = (x y z , x y , sqrt(x^2 + z^2)) , determinar (del^2 vec f)/(del x^2) , (del^2 vec f)/(del y^2) e (del^2 vec f)/(del x del y) .
Encontrar:(del^2 vec f)/(del x ²) , (del^2 vec f)/(del y ²) , (del^2 vec f)/(del x del y) , (del^3 vec f)/(del x ² del y) e (del^3 vec f)/(del z ³) ² ² ² ³Das seguintes funções:a) vec f (x , y , z) =
Encontrar:(del^2 vec f)/(del x ²) , (del^2 vec f)/(del y ²) , (del^2 vec f)/(del x del y) , (del^3 vec f)/(del x ² del y) e (del^3 vec f)/(del z ³) ² ² ² ³Das seguintes funções:b) vec f (x , y , z) =
Determine ∂ z ∂ x e ∂ z ∂ y z = f x g y z = f x y z = f x y
Nos exercício de 1 a 4, calcule as derivadas parciais indicadas.4- f x ,y ,z = y 2 z + s e n ( x 2 z ) , a ) f x z x ,y ,z , b ) f y z x ( x ,y ,z )