Mostre que as funções nos Exercícios 81-87 são todas soluções da equação de onda.

Passo 1

Somos solicitados a verificar se a função w(x,t) satisfaz a equação de onda unidimensional. Lembre-se de que a equação de onda unidimensional tem uma forma:

∂ 2 w ∂ t 2 = c 2 ∂ 2 w ∂ x 2

Portanto, nossa tarefa é encontrar derivadas parciais de segunda ordem de w em relação a x e t e inseri-las na equação.

Passo 2

w ( x , t ) = 5 c o s ⁡ ( 3 x + 3 c t ) + e x + c t ∂ w ∂ t = - 5 s i n ⁡ ( 3 x + 3 c t ) 3 c + c e x + c t = - 15 c s i n ⁡ ( 3 x + 3 c t ) + c e x + c t ∂ w ∂ x = - 5 s i n ⁡ ( 3 x + 3 c t ) 3 + e x + c t = - 15 s i n ⁡ ( 3 x + 3 c t ) + e x + c t ∂ 2 w ∂ t 2 = - 15 c c o s ⁡ ( 3 x + 3 c t ) 3 c + c 2 e x + c t = - 45 c 2 c o s ⁡ ( 3 x + 3 c t ) + c 2 e x + c t = c 2 - 45 c o s ⁡ ( 3 x + 3 c t ) + e x + c t ∂ 2 w ∂ x 2 = - 15 c o s ⁡ ( 3 x + 3 c t ) 3 + e x + c t = - 45 c o s ⁡ ( 3 x + 3 c t ) + e x + c t

Passo 3

Provamos!!!!

Resposta

Ver o desenvolvimento.

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