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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.3 - Ex. 50

Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções nos Exercícios 41-50.

Passo 1

Nesta tarefa, recebemos uma função de duas variáveis e somos solicitados a encontrar todas as suas derivadas parciais de segunda ordem. Lembre-se de que a derivada parcial de segunda ordem é calculada tomando uma derivada parcial da derivada parcial de primeira ordem:

∂ 2 f ∂ x 2 = ∂ ∂ x ∂ f ∂ x ∂ 2 f ∂ y ∂ x = ∂ ∂ y ∂ f ∂ x ∂ 2 f ∂ x ∂ y = ∂ ∂ x ∂ f ∂ y ∂ 2 f ∂ y 2 = ∂ ∂ y ∂ f ∂ y

Nesta tarefa também contaremos com o teorema da derivada mista que afirma que se as derivadas de primeira e segunda ordem da função são contínuas, então as derivadas de ordem mista da função são as mesmas, ou seja:

∂ 2 f ∂ x ∂ y = ∂ 2 f ∂ y ∂ x

Observe que nesta tarefa isso será verdadeiro devido à função que recebemos com essa propriedade. Isso nos poupará um cálculo, portanto, no total, precisamos calcular as derivadas 5 vezes.

w x , y = x - y x 2 + y

Passo 2

w ( x , y ) = x - y x 2 + y ∂ w ∂ x = x 2 + y 2 - 2 x x - y x 2 + y 2 2 = x 2 + y 2 - 2 x 2 - 2 x y x 2 + y 2 2 = - x 2 - 2 x y + y 2 x 2 + y 2 2 ∂ w ∂ y = - x 2 - y 2 - 2 y x - y x 2 + y 2 2 = - x 2 + y 2 - 2 x y x 2 + y 2 2 ∂ 2 w ∂ x 2 = - 2 - x 3 - 3 x 2 y + 3 x y 2 + y 3 x 2 + y 2 3 ∂ 2 w ∂ x ∂ y = 2 - x 3 - 3 x 2 y + 3 x y 2 + y 3 x 2 + y 2 3 ∂ 2 w ∂ y 2 = 2 - x 3 - 3 x 2 y + 3 x y 2 + y 3 x 2 + y 2 3

Resposta

∂ 2 w ∂ y 2 = 2 - x 3 - 3 x 2 y + 3 x y 2 + y 3 x 2 + y 2 3

∂ 2 w ∂ x ∂ y = 2 - x 3 - 3 x 2 y + 3 x y 2 + y 3 x 2 + y 2 3

∂ 2 w ∂ x 2 = - 2 - x 3 - 3 x 2 y + 3 x y 2 + y 3 x 2 + y 2 3

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Nos exercício de 1 a 4, calcule as derivadas parciais indicadas.2- f x ,y = x cos ⁡ y - y e x , a ) f y y x ,y , b ) f x y ( x ,y )
Nos exercício de 1 a 4, calcule as derivadas parciais indicadas.3- f x ,y = ln ⁡ ( x 2 + 8 y - 3 z 2 ) , a ) f x x x ,y ,z , b ) f z y ( x ,y ,z )
8. Mostre que as funções satisfazem as respectivas equações de laplace:a) f ( x , y ) = ln ⁡ ( x 2 + y 2 ) , mostra que ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 .
10- Seja u x ,y = f x - a y + g ( x + a y ) , onde a é uma constante real e f e g são funções quaisquer de uma variável real, deriváveis até segunda ordem. Verifique que ∂ 2 u ∂ y 2 = a 2 ∂ 2 u ∂ x 2
7. Se f (x , y) = x e^((x)/(y)) , mostre que x (del^3 f)/(del x^3) + y (del^3 f)/(del y del x^2) = 0