Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções nos Exercícios 41-50.

Passo 1

Nesta tarefa, recebemos uma função de duas variáveis e somos solicitados a encontrar todas as suas derivadas parciais de segunda ordem. Lembre-se de que a derivada parcial de segunda ordem é calculada tomando uma derivada parcial da derivada parcial de primeira ordem:

∂ 2 f ∂ x 2 = ∂ ∂ x ∂ f ∂ x ∂ 2 f ∂ y ∂ x = ∂ ∂ y ∂ f ∂ x ∂ 2 f ∂ x ∂ y = ∂ ∂ x ∂ f ∂ y ∂ 2 f ∂ y 2 = ∂ ∂ y ∂ f ∂ y

Nesta tarefa também contaremos com o teorema da derivada mista que afirma que se as derivadas de primeira e segunda ordem da função são contínuas, então as derivadas de ordem mista da função são as mesmas, ou seja:

∂ 2 f ∂ x ∂ y = ∂ 2 f ∂ y ∂ x

Observe que nesta tarefa isso será verdadeiro devido à função que recebemos com essa propriedade. Isso nos poupará um cálculo, portanto, no total, precisamos calcular as derivadas 5 vezes.

w x , y = x - y x 2 + y

Passo 2

w ( x , y ) = x - y x 2 + y ∂ w ∂ x = x 2 + y 2 - 2 x x - y x 2 + y 2 2 = x 2 + y 2 - 2 x 2 - 2 x y x 2 + y 2 2 = - x 2 - 2 x y + y 2 x 2 + y 2 2 ∂ w ∂ y = - x 2 - y 2 - 2 y x - y x 2 + y 2 2 = - x 2 + y 2 - 2 x y x 2 + y 2 2 ∂ 2 w ∂ x 2 = - 2 - x 3 - 3 x 2 y + 3 x y 2 + y 3 x 2 + y 2 3 ∂ 2 w ∂ x ∂ y = 2 - x 3 - 3 x 2 y + 3 x y 2 + y 3 x 2 + y 2 3 ∂ 2 w ∂ y 2 = 2 - x 3 - 3 x 2 y + 3 x y 2 + y 3 x 2 + y 2 3

Resposta

∂ 2 w ∂ y 2 = 2 - x 3 - 3 x 2 y + 3 x y 2 + y 3 x 2 + y 2 3

∂ 2 w ∂ x ∂ y = 2 - x 3 - 3 x 2 y + 3 x y 2 + y 3 x 2 + y 2 3

∂ 2 w ∂ x 2 = - 2 - x 3 - 3 x 2 y + 3 x y 2 + y 3 x 2 + y 2 3

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