Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.3 - Ex. 44

Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções nos Exercícios 41-50.

Passo 1

Nesta tarefa, recebemos uma função de duas variáveis f(x,y) e pedimos para encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem. Lembre-se de que as derivadas parciais de segunda ordem são definidas como:

∂ 2 f ∂ x 2 = ∂ ∂ x ∂ f ∂ x ∂ 2 f ∂ y ∂ x = ∂ ∂ y ∂ f ∂ x ∂ 2 f ∂ x ∂ y = ∂ ∂ x ∂ f ∂ y ∂ 2 f ∂ y 2 = ∂ ∂ y ∂ f ∂ y

Além disso, usamos o teorema da derivada mista que afirma que, caso as derivadas parciais de ordem mista sejam contínuas, então:

∂ 2 f ∂ x ∂ y = ∂ 2 f ∂ y ∂ x

Como esse será o caso, há um cálculo a menos que precisamos fazer.

Passo 2

∂ h ∂ x = ∂ ∂ x x e y + y + 1 = e y ∂ h ∂ y = ∂ ∂ y x e y + y + 1 = x e y + 1

∂ 2 h ∂ x 2 = ∂ ∂ x ∂ h ∂ x = ∂ ∂ x e y = 0

Passo 3

∂ 2 h ∂ x ∂ y = ∂ 2 h ∂ y ∂ x = ∂ ∂ y ∂ h ∂ x = ∂ ∂ y e y = e y

∂ 2 h ∂ y 2 = ∂ ∂ y ∂ h ∂ y = ∂ ∂ y x e y + 1 = x e y

Resposta

∂ 2 h ∂ x 2 = 0 , ∂ 2 h ∂ x ∂ y = ∂ 2 h ∂ y ∂ x = e y ,  and  ∂ 2 h ∂ y 2 = x e y

Exercícios de Livros Relacionados

6-Se f (x , y) = ln (x - y) + t g (x + y) , mostre que (del^2 f)/(del x^2) = (del^2 f)/(del y^2)
Nos exercício de 1 a 4, calcule as derivadas parciais indicadas.1- f x ,y = x 2 + y 2 3 2 , a ) f x x x ,y , b ) f y x ( x ,y )
8. Mostre que as funções satisfazem as respectivas equações de laplace:b) f ( x , y ) = 1 x 2 + y 2 + z 2 , mostrar que ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 + ∂ 2 f ∂ z 2 = 0 .
5-Seja f (x , y) = {[[(x y^3)/(x^2 + y^2) , (x , y) != ( 0 , 0 )],[0 , (x , y) = ( 0,0 )]]) Mostre que (del^2 f)/(del x del y) ( 0 , 0 ) != (del^2 f)/(del y del x) ( 0 , 0 )
9. Se u e v são funções de x e y , de classe C 2 e satisfazem as equações de Cauchy-Riemman ∂ u ∂ x = ∂ v ∂ y e ∂ u ∂ y = - ∂ v ∂ x , mostre que u e v são harmônicas.