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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.3 - Ex. 47

Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções nos Exercícios 41-50.

Passo 1

Nesta tarefa, recebemos uma função de duas variáveis e somos solicitados a encontrar todas as suas derivadas parciais de segunda ordem. Lembre-se de que a derivada parcial de segunda ordem é calculada tomando uma derivada parcial da derivada parcial de primeira ordem:

∂ 2 f ∂ x 2 = ∂ ∂ x ∂ f ∂ x ∂ 2 f ∂ y ∂ x = ∂ ∂ y ∂ f ∂ x ∂ 2 f ∂ x ∂ y = ∂ ∂ x ∂ f ∂ y ∂ 2 f ∂ y 2 = ∂ ∂ y ∂ f ∂ y

Nesta tarefa também contaremos com o teorema da derivada mista que afirma que se as derivadas de primeira e segunda ordem da função são contínuas, então as derivadas de ordem mista da função são as mesmas, ou seja:

∂ 2 f ∂ x ∂ y = ∂ 2 f ∂ y ∂ x

Observe que nesta tarefa isso será verdadeiro devido à função que recebemos com essa propriedade. Isso nos poupará um cálculo, portanto, no total, precisamos calcular as derivadas 5 vezes.

Passo 2

w x , y = x 2 tan ⁡ x y

∂ w ∂ x = 2 x tan ⁡ x y + x 2 ⋅ 1 cos 2 ⁡ x y ⋅ y = 2 x tan ⁡ x y + x 2 y cos 2 ⁡ x y ∂ w ∂ y = x 2 ⋅ 1 cos 2 ⁡ x y ⋅ x = x 3 cos 2 ⁡ x y

∂ 2 w ∂ x 2 = 2 tan ⁡ x y + 2 x ⋅ 1 cos 2 ⁡ x y ⋅ y + 2 x y ⋅ cos 2 ⁡ x y + 2 x 2 ycos ⁡ x y sin ⁡ x y ⋅ y cos 4 ⁡ x y = 2 tan ⁡ x y + 4 x y cos 2 ⁡ x y + 2 x 2 y 2 tan ⁡ x y cos 2 ⁡ x y ∂ 2 w ∂ y ∂ x = 2 x 2 cos 2 ⁡ x y + x 2 cos 2 ⁡ x y + 2 x 3 ycos ⁡ x y sin ⁡ x y cos 4 ⁡ x y = 3 x 2 cos 2 ⁡ x y + 2 x 3 ytan ⁡ x y cos 2 ⁡ x y ∂ 2 w ∂ y 2 = 2 x 3 cos ⁡ x y sin ⁡ x y x cos 4 ⁡ x y = 2 x 4 tan ⁡ x y cos 2 ⁡ x y

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