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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.16 - Ex. 8

Determine todos os pontos a , b sobre a curva y = x 4 + 2 x 3 - 2 x 2 + 8 x + 12 tais que a reta tangente em a , b seja paralela à reta 8 x - y + π = 0 .

Passo 1

Temos que se s é tangente a f no ponto a , b , então, a , b pertence à curva. Vamos chamar, então, de a , f a o ponto de tangência.

Temos que f ' x = 4 x 3 + 6 x 2 - 4 x + 8 , então, f ' a = 4 a 3 + 6 a 2 - 4 a + 8

Se a reta tangente é paralela a 8 x - y + π = 0 , possui o mesmo coeficiente angular, assim:

Se

8 x - y + π = 0

y = 8 x + π

O coeficiente angular é 8 e então f ' a = 8

4 a 3 + 6 a 2 - 4 a + 8 = 8

4 a 3 + 6 a 2 - 4 a = 0

a = 0

Ou

4 a 2 + 6 a - 4 = 0

2 a 2 + 3 a - 2 = 0

a = - 3 ± 3 2 - 4 ⋅ 2 ⋅ - 2 2 ⋅ 2

a = - 3 ± 3 2 - 4 ⋅ 2 ⋅ - 2 2 ⋅ 2

a = - 3 ± 5 4

a = - 2

Ou

a = 1 2

Passo 2

Agora devemos calcular f ( a ) para cada a que encontramos:

f 0 = 0 4 + 2 0 3 - 2 0 2 + 8 0 + 12

f 0 = 12

f - 2 = - 2 4 + 2 - 2 3 - 2 - 2 2 + 8 - 2 + 12

f ' - 2 = - 12

f 1 2 = 1 2 4 + 2 1 2 3 - 2 1 2 2 + 8 1 2 + 12

f ' 1 2 = 253 16

Então, os pontos a , b são 0,12 , - 2 , - 12 e 1 2 , 253 16 .

Resposta

Os pontos a , b são 0,12 , - 2 , - 12 e 1 2 , 253 16 .

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