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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.2 - Ex. 22

Determine o valor da derivada

((d w)/(d z)| z = 4 , s e w = z + sqrt(z)

Passo 1

Primeiro, devemos saber que definimos a derivada de uma função como sendo:

(d)/(d z) w ( z ) = underset(h -> 0)(lim) (w ( z + h ) - w ( z ))/(h)

Passo 2

Calculando a derivada:

(d)/(d z) w ( z ) = underset(h -> 0)(lim) (z + h + sqrt(z + h) - ( z + sqrt(z) ))/(h)

(d)/(d z) w ( z ) = underset(h -> 0)(lim) (h + sqrt(z + h) - sqrt(z))/(h)

(d)/(d z) w ( z ) = underset(h -> 0)(lim) (h)/(h) + underset(h -> 0)(lim) (sqrt(z + h) - sqrt(z))/(h)

Para desenvolver a expressão, é necessário lembrar que ( a + b ) ( a - b ) = a^2 - b^2

(d)/(d z) w ( z ) = underset(h -> 0)(lim) 1 + underset(h -> 0)(lim) (sqrt(z + h) - sqrt(z))/(h) * (sqrt(z + h) + sqrt(z))/(sqrt(z + h) + sqrt(z))

(d)/(d z) w ( z ) = underset(h -> 0)(lim) 1 + underset(h -> 0)(lim) (z + h - z)/(h * ( sqrt(z + h) + sqrt(z) ))

(d)/(d z) w ( z ) = underset(h -> 0)(lim) 1 + underset(h -> 0)(lim) (h)/(h * ( sqrt(z + h) + sqrt(z) ))

(d)/(d z) w ( z ) = underset(h -> 0)(lim) 1 + underset(h -> 0)(lim) (1)/(( sqrt(z + h) + sqrt(z) ))

(d)/(d z) w ( z ) = 1 + (1)/(( sqrt(z + 0) + sqrt(z) ))

(d)/(d z) w ( z ) = 1 + (1)/(2 sqrt(z))

Passo 3

Para encontrarmos a derivada da função no ponto z = 4 , basta substituir z no resultado encontrado anteriormente

(d)/(d z) w ( 4 ) = 1 + (1)/(2 sqrt(4))

(d)/(d z) w ( 4 ) = 1 + (1)/(2 * 2)

(d)/(d z) w ( 4 ) = 1 + (1)/(4)

(d)/(d z) w ( 4 ) = (5)/(4)

Resposta

(d)/(d z) w ( 4 ) = (5)/(4)

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