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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.6 - Ex. 19

Determine, com precisão de quatro casas decimais, a área da parte da superfície z = 1 + x 2 y 2 que está acima do disco x 2 + y 2 ≤ 1 .

Passo 1

Show em galera! Vamos imaginar um disco de raio 1 , e acima dele haverá uma superfície z = 1 + x 2 y 2 . Precisamos calcular a área da superfície que que está sobre esse disco. E como vamos fazer isso? Ora vamos lembrar da definição de área de uma superfície que pode ser dada por

A D = ∬ D ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 + 1   d A

Passo 2

O primeiro passo é encontrar os valores que devem ser inseridos na integral. Tanto que vão estar no lugar das derivadas quanto os que vão estar nos limites de integração.Vamos calcular as derivadas:

∂ z ∂ x =   ∂ ( 1 + x 2 y 2 ) ∂ x

Considerando y constante, temos:

∂ ( 1 + x 2 y 2 ) ∂ x = 0 + 2 x y 2

Para a derivada parcial em relação a y temos o mesmo procedimento:

∂ ( 1 + x 2 y 2 ) ∂ y = 0 + 2 x 2 y

E como fazemos para encontrar os limites de integração?

Veja, a equação do disco é:

x 2 + y 2 ≤ 1

Ou seja,

y 2 = 1 - x 2

y = ∓ ( 1 - x 2 )    

Então nosso limite em y é:

- 1 - x 2 ≤ y ≤   1 - x 2

Com x   entre - 1 e 1 .

Queremos calcular a área de nossa superfície. Para isso temos que

A D = ∫ - 1 1 ∫ - 1 - x 2 1 - x 2 4 x 2 y 4 + 4 x 4 y 2 + 1   d y d x

Usando um sistema de computação algébrica, temos que

A D ≈ 3.3213

Resposta

A D ≈ 3.3213

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