Determine a área exata da superfície z = 1 + x + y + x^2 , -2 x ≤ 1 , -1 ≤ y ≤ 1 .

Passo 1

Show de bolas meu caro gafanhoto. Tem uma superfície z qualquer definida por: z = 1 + x + y + x 2 , - 2 ≤ x ≤ 1 , - 1 ≤ y ≤ 1 . E temos que encontrar sua área.

Vamos lembrar que, por definição a área de uma superfície pode ser dada por

A D = ∬ D ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 + 1   d A

Com isso, precisamos resolver as derivadas parciais, definir os limites de integração, por último calculamos a integral e prontinho!!! Vamos lá então?

Passo 2

Primeiro vamos calcular as derivadas parciais de z = 1 + x + y + x 2 : ∂ z ∂ x   e   ∂ z ∂ y

A derivada parcial em relação a x é:

∂ 1 + x + y + x 2 ∂ x = 1 + 2 x

Calculando em relação a y temos:

∂ 1 + x + y + x 2 ∂ y = 1

Mas e quanto aos limites de integração? Veja que o exercício diz que à duas limitações para a superfície z :

- 2 ≤ x ≤ 1 ,

- 1 ≤ y ≤ 1

Então esse será nosso limite de integração, de modo que temos:

A D = ∫ - 2 1 ∫ - 1 1 1 + 1 + 2 x 2 + 1   d y d x

Usando um sistema de computação algébrica, temos que

A D = 3 11 + 2 sinh - 1 ⁡ 3 2 2 = 3 11 + ln ⁡ 10 + 3 11

Resposta

A D = 3 11 + ln ⁡ 10 + 3 11

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