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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.8 - Ex. 37

Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da Seção 14.7 indicados.

  • Exercício 47

Passo 1

Pra relembrar o que pede nesse exercício: Encontre o volume máximo de uma caixa retangular que está inscrita em uma esfera de raio r.

Vamos colocar que as dimensões da caixa são x ,   y   e   z .

O volume então é dado pela função f x , y , z = x y z , que queremos maximizar.

A restrição nesse caso é:

g x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 = r 2

Pelos multiplicadores de Lagrange, precisamos de:

∇ f x , y , z = λ ∇ g x , y , z

Passo 2

Trazendo pro nosso caso temos:

y z , x z , x y = λ 2 x , 2 y , 2 z

y z = 2 x λ

x z = 2 y λ

x y = 2 z λ

Vamos isolar o λ ...

λ = y z 2 x = x z 2 y = x y 2 z

Temos que ter x ,   y   e   z diferentes de zero, então...

2 y 2 z = 2 x 2 z → y 2 = x 2

2 z 2 x = 2 y 2 x → z 2 = y 2

Ou seja, x 2 = y 2 = z 2 .

Passo 3

Substituímos na restrição agora...

x 2 + y 2 + z 2 = r 2

y 2 + y 2 + y 2 = r 2

3 y 2 = r 2

y = r 3 = x = z

Então o volume máximo é:

V = r 3 r 3 r 3 =

V = r 3 3 3  

Resposta

V = r 3 3 3  

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