Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada.

∫ ∫ R x - 2 y 3 x - y   d A , onde R é o paralelogramo delimitado pelas retas

x - 2 y = 0   ,     x - 2 y = 4   ,     3 x - y = 1   ,     3 x - y = 8

Passo 1

Pessoal, vamos usar a seguinte transformação:

u = x - 2 y   ,     v = 3 x - y

Se resolvermos essas equações como se fosse um sistema, encontramos:

x = 1 5 2 v - u   ,     y = 1 5 v - 3 u

E então podemos calcular o jacobiano da transformação:

∂ ( x ,   y ) ∂ ( u ,   v ) = - 1 5 2 5 - 3 5 1 5 = 1 5

Passo 2

Agora estamos prontos para calcular a integral nas novas variáveis:

∫ ∫ R x - 2 y 3 x - y   d A = ∫ 0 4 ∫ 1 8 u v   1 5   d v   d u = 1 5 ∫ 0 4 u d u ∫ 1 8 1 v   d v = 1 5 u 2 2 0 4 ln ⁡ v 1 8 = 1 5 8 ln ⁡ 8 = 8 5 ln ⁡ 8

Resposta

8 5 ln ⁡ 8

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