Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.1 - Ex. 29

Calcule a integral dupla.

29.

∬ R x y 2 x 2 + 1 d A ,     R = x , y     0 ≤ x ≤ 1 ; - 3 ≤ y ≤ 3 }  

Passo 1

Fala, gente bonita! Tudo show?

A questão pede pra resolver uma integral dupla. Tranquilo, né?

Lembra que começamos a resolver de dentro pra fora, belê?

Além disso, a questão nos deu informações que vão servir para nossos limites de integrações.

0 ≤ x ≤ 1

- 3 ≤ y ≤ 3

Vamos montar a integral iterada com os limites de integração:

∫ 0 1 ∫ - 3 3 x y 2 x 2 + 1   d y d x

Passo 2

Vamos começar a brincadeira?

∫ 0 1 ∫ - 3 3 x y 2 x 2 + 1   d y d x

Como a gente quer mexer com y , vamos manipular logo a integral interna:

∫ - 3 3 x y 2 x 2 + 1   d y

x x 2 + 1 ⋅ ∫ - 3 3 y 2   d y

x x 2 + 1 ⋅ y 3 3 - 3 3  

x y 3 3 x 2 + 3 - 3 3 = x ⋅ 3 3 3 x 2 + 3 - x ⋅ - 3 3 x 2 + 1

= 18 x x 2 + 1

Passo 3

Agora que temos a integral interna, vamos resolver como integral de d x .

∫ 0 1 18 x x 2 + 1 d x

Usando u = x 2 + 1 , então d u = 2 x d x , e assim d x = d u 2 x

∫ 0 1 18 x u ⋅ d u 2 x  

∫ 0 1 9 u d u  

Jogando esse 9 pra frente, resolveremos a integral de:

9 ∫ 0 1 1 u d u  

9 ln ⁡ u  

E substituindo u , então:

9 ln ⁡ x 2 + 1 0 1

Agora vamos fazer a mágica acontecer:

9 ln ⁡ 1 2 + 1 - 9 ln ⁡ 0 2 + 1 = 9 ln ⁡ 2  

Prontinho!

Resposta

9 ln ⁡ 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

2) Esboçar a região de integração e calcular as integrais iteradas seguintes:i) ∫ 1 2 ∫ 0 x y l nx d yd x
Calcular ∬_r^() f (x , y) d x d y , onde:e) f (x , y) = (1)/(x + y) ; R é o quadrado: 1 = x = 2 ; 1 = y = 2 .
2) Esboçar a região de integração e calcular as integrais iteradas seguintes:h) ∫ 0 1 ∫ x 2 x 2 x y d yd x
2) Esboçar a região de integração e calcular as integrais iteradas seguintes:b) ∫ 0 2 ∫ - y y x y 2 + y d xd y
2) Esboçar a região de integração e calcular as integrais iteradas seguintes:k) ∫ 0 1 ∫ 0 1 sec 3 ⁡ x d yd x