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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.1 - Ex. 57

Determine os valores extremos (absoluto e local) das funções e onde ocorrem:

y = x 2 - 1

Passo 1

Sabendo que um ponto crítico é um valor extremo de uma função, a derivada da função deve ser igual a 0, uma vez que representa a inclinação de uma reta tangente que passa por esse ponto.

Encontrados os pontos críticos, calculamos a segunda derivada e igualamos a 0, para determinar se os pontos são de máximo ou mínimo.

Passo 2

Derivando a equação, teremos:

y ' = 2 x 2 x 2 - 1   =   x x 2 - 1  

Passo 3

Fazendo y ' = 0 , temos:

x x 2 - 1 = 0

x x 2 - 1 × x 2 - 1 x 2 - 1 = 0

x x 2 - 1 x 2 - 1 = 0

x x 2 - 1 = 0

x 1 = 0

x 2 - 1 = 0

x 2 - 1 = 0 2

x 2 = 1

x 2 = + 1   e   x 3 = - 1

Passo 4

A função não existe quando a raiz for negativa. Logo, ela está limitada em:

{ x ∈ R | x ≥ 1   o u   x ≤ - 1 }

Se a função é descontínua, temos que analisa-la em seus limites. Portato, teremos:

lim x → - 1 ⁡ x 2 - 1 = 0

lim x → + 1 ⁡ x 2 - 1 = 0

lim x → - ∞ ⁡ x 2 - 1 = + ∞

lim x → + ∞ ⁡ x 2 - 1 = + ∞

Resposta

M í n i m o   G l o b a l   e m   x 1 = - 1   e   e m   x 2 =   + 1

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