Determine os valores extremos (absoluto e local) das funções e onde ocorrem:

y = x^3 - 2x + 4

Passo 1

Sabendo que um ponto crítico é um valor extremo de uma função, a derivada da função deve ser igual a 0, uma vez que representa a inclinação de uma reta tangente que passa por esse ponto.

Encontrados os pontos críticos, calculamos a segunda derivada e igualamos a 0, para determinar se os pontos são de máximo ou mínimo.

Passo 2

Derivando a equação acima, teremos:

y ' = 3 x 2 - 2

Passo 3

Para determinarmos os valores extremos, precisamos identificar os pontos críticos:

y ' = 0

3 x 2 - 2 = 0

3 x 2 = 2

x = 2 3

x 1 =   + 2 3         x 2 =   - 2 3

Passo 4

Substituindo na equação original, poderemos analisar quais pontos correspondem a mínimos e máximos.

y 2 3 = 2 3 3 - 2 2 3 + 4 ≈ 2,911

y - 2 3 = - 2 3 3 - 2 - 2 3 + 4 ≈ 5,088

Passo 5

Para classificarmos os pontos críticos, primeiro fazemos a segunda derivada e depois y ' ' = 0 .

y ' ' = 6 x

6 x = 0

x = 0

Quando o ponto da segunda derivada é 0, temos um ponto de inflexão. Dessa forma, analisamos os sinais de nossos pares ordenados para classificar o que é mínimo e máximo.

Passo 6

Agora que conhecemos os pares ordenados que correspondem aos pontos críticos, vamos classificá-los como mínimos e máximos globais e locais.

Resposta

M í n i m o   L o c a l   e m   x 1 = 2 3     e   M á x i m o   L o c a l   e m   x 2 = - 2 3

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