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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.3 - Ex. 36

Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função

u = x y z

Passo 1

E aí, galera! Tudo bem?

Nessa questão nós temos a função u = f ( x , y , z ) e queremos determinar as derivadas parciais de primeira ordem, ou seja, f x x , y , z   e f y ( x , y , z ) e f z ( x , y , z ) .

Para calcular a derivada parcial em relação a x , f x , vamos tratar y como constante. Da mesma forma, para calcular f y , vamos tratar x   como uma constante.

Beleza? Então vem comigo.

Passo 2

Seja a função: u = x y z

Fixando os valores de y e de z , derivamos em relação a x   e é necessário utilizar a técnica da regra da cadeia. Assim, temos:

u x =   y z ⋅   x y z - 1

É a mesma ideia de derivar x², que obtemos 2 ⋅ x 2 - 1

Passo 3

Repetindo o raciocínio, fixamos os valores de x e z , derivando em relação a   y . Nesse item, devemos utilizar a ferramenta e ln ⁡ x = x .

Assim, temos:

u =   e l n   x y z  

Aplicando as propriedades de logaritmo:

u =   e y z   l n   x  

Agora, basta derivar em relação a y , utilizando a regra da cadeia:

u y =   e y z l n   x     1   l n x z =   e y z   l n   x     l n x z

Passo 4

Finalmente, para derivar em relação a z , fixamos os valores de x   e y e utilizamos a ferramenta apresentada u =   e y z   l n   x   .

Utilizando a regra da cadeia, obtemos:

u z =     e y z   l n   x   - 1 y   l n x z ²

u z =   - e y z   l n   x   y   l n x z ²

Resposta

u x =   y z   x y z - 1

u y =   e y z   l n   x     l n x z

u z =   - e y z   l n   x   y   l n x z ²

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