Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita às restrições dadas

f(x, y) = e^(xy); x^3 + y^3 = 16

Passo 1

Para encontrar os valores máximos e mínimos dessa função com a restrição apresentada é necessário utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange.

Esse método consiste em encontrar pontos que pertençam a ambas as curvas de nível ao mesmo tempo, e para isso, é necessário calcular os gradientes: vetores que indicam as direção e sentido de maior variação das funções. Ele é definido como

∇ f x , y = ∂ f x , y ∂ x , ∂ f x , y ∂ y

Como os pontos de máximo e mínimo que estamos procurando pertence a mais de uma curva de nível, precisamos lembrar que o vetor gradiente é sempre perpendicular a essas curvas, de modo que

∇ f x , y = λ ∇ g ( x , y )

Para resolver a questão devemos primeiro encontrar a função g ( x , y ) da restrição para então calcular os vetores gradientes dessas funções e resolver um sistema de equações para encontrar os pontos críticos ( x o , y o ) .

Com os pontos críticos iremos avaliar se estes são pontos de máximo ou de mínimo.

Passo 2

A questão nos dá uma restrição representada por uma curva de nível

x 3 + y 3 = 16

Podemos expressar a função da restrição da seguinte forma

g x , y = 0 = x 3 + y 3 - 16

Passo 3

Agora que temos as duas funções, podemos calcular suas derivadas parciais para obter seus vetores gradiente

∂ f x , y ∂ x = f x = ∂ ∂ x e x y = y e x y

∂ f x , y ∂ y = f y = ∂ ∂ y e x y = x e x y

Portanto, o vetor gradiente para f ( x , y ) é dado por

∇ f x , y = y e x y , x e x y

Realizando o mesmo procedimento para a função g ( x , y )

∂ g x , y ∂ x = g x = ∂ ∂ x x 3 + y 3 - 16 = 3 x 2

∂ g x , y ∂ y = g y = ∂ ∂ y x 3 + y 3 - 16 = 3 y 2

Portanto, o vetor gradiente para g ( x , y ) é dado por

∇ g x , y = 3 x 2 , 3 y 2

Passo 4

Como o ponto que queremos encontrar pertence à curva de nível de ambas as funções, então seus vetores gradiente serão paralelos, de modo que devemos resolver

∇ f x , y = λ ∇ g ( x , y )

Reescrevendo a expressão com os resultados encontrados, temos uma equação de vetores

y e x y , x e x y = λ 3 x 2 , 3 y 2

Igualando os componentes dos vetores podemos obter um sistema de equações

y e x y = λ 3 x 2 x e x y = λ 3 y 2

Como as variáveis estão sujeitas a uma restrição g ( x , y ) , essa restrição também deve fazer parte de nosso sistema de equações

y e x y = λ 3 x 2 x e x y = λ 3 y 2 x 3 + y 3 = 16

Passo 5

Percebemos pelo nosso sistema que quando x = 0 → y = 0 , e isso contradiz nossa restrição x 3 + y 3 = 16 , então vamos considerar que x ≠ 0 e y ≠ 0 .

Então temos que

λ = y e x y 3 x 2

λ = x e x y 3 y 2

Igualando as duas expressões de λ temos

y e x y 3 x 2 = x e x y 3 y 2

E isso nos dá

x 3 = y 3

Substituindo esse resultado em nossa restrição x 3 + y 3 = 16 , temos

2 x 3 = 16

x = y = 2

E portanto, nosso ponto crítico é ( 2,2 ) .

Passo 6

Como temos f x , y com pontos arbitrários, quanto mais próximo de zero, seria o nosso mínimo. E o ponto máximo é no ponto ( 2,2 )

f 2,2 = e 2 ⋅ 2 = e 4

Resposta

O máximo é f 2,2 = e 4

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