Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.8 - Ex. 21
Determine os valores extremos de na região descrita pela desigualdade
Passo 1
Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de multiplicador de Lagrange, vamos lá!
A questão nos dá a função e a restrição (a região interna de círculo na origem com raio ) e nos pede para encontrar os valores extremos de !
Os extremos em questão são os valores de máximo e mínimo de nessa restrição, mas veja que a restrição é composta tanto pela fronteira do círculo
Quanto pela região interna desse
Dessa forma, para analisar os possíveis pontos de interesse de sujeita à região interna do círculo, nós vamos usar o método padrão de encontrar pontos críticos: Encontrar as derivadas parciais e e buscar pontos onde !
E para analisar os pontos presentes na fronteira da restrição nós vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange!
Esse método propõe que: Para determinar os valores máximo e mínimo de uma função sujeitos à restrição nós podemos usar a seguinte fórmula
Onde é o nosso multiplicador de Lagrange!
Assim, definindo o gradiente (as derivadas parciais) da função e das restrições, nós podemos procurar por valores de e que satisfaçam essa expressão!
Passo 2
Para os pontos da função sujeitos a
Temos
De forma que suas derivadas parciais são
Agora vamos procurar pontos que tornam as seguintes expressões verdadeiras
Fazendo temos
Encontramos somente o ponto , e se verificarmos na restrição veremos que ele está contido nela!
Passo 3
Agora vamos analisar para os pontos da função sujeitos a
A expressão que relaciona a função à restrição com os multiplicadores de Lagrange é
Onde e
Como o gradiente é o conjunto das derivadas parciais, então podemos reescrever isso como
Calculando as derivadas que ainda não temos
De forma que ficamos com o seguinte
Dessa expressão “matricial” obtemos o seguinte sistema de equações
E além disso, considerando a restrição também temos
De forma que temos o sistema
Que podemos reescrever como o seguinte
Onde
Ou ainda
E substituindo esses valores na expressão da restrição temos
Ou ainda
Dessa forma, como , para a fronteira da restrição obtemos os pontos
Passo 4
Agora só precisamos substituir todos os pontos que encontramos na função e ver quem é máximo e quem é mínimo!
Dessa forma temos
Assim, o mínimo ocorre em e o máximo em !
Resposta
Mínimo
Máximo