Determine os valores extremos de f na região descrita pela desigualdade

f x , y = x 2 + y 2 + 4 x - 4 y ;                           x 2 + y 2 ≤ 9

Passo 1

Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de multiplicador de Lagrange, vamos lá!

A questão nos dá a função f x ,   y = x 2 + y 2 + 4 x - 4 y e a restrição x 2 + y 2 ≤ 9 (a região interna de círculo na origem com raio 3 ) e nos pede para encontrar os valores extremos de f !

Os extremos em questão são os valores de máximo e mínimo de f nessa restrição, mas veja que a restrição é composta tanto pela fronteira do círculo

x 2 + y 2 = 9

Quanto pela região interna desse

x 2 + y 2 < 9

Dessa forma, para analisar os possíveis pontos de interesse de f sujeita à região interna do círculo, nós vamos usar o método padrão de encontrar pontos críticos: Encontrar as derivadas parciais f x e f y e buscar pontos onde f x = f y = 0 !

E para analisar os pontos presentes na fronteira da restrição nós vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange!

Esse método propõe que: Para determinar os valores máximo e mínimo de uma função f x , y sujeitos à restrição g x , y = k nós podemos usar a seguinte fórmula

∇ f x , y = λ ⋅ ∇ g x , y

Onde λ é o nosso multiplicador de Lagrange!

Assim, definindo o gradiente (as derivadas parciais) da função e das restrições, nós podemos procurar por valores de x , y e λ que satisfaçam essa expressão!

Passo 2

Para os pontos da função sujeitos a

x 2 + y 2 < 9

Temos

f x , y = x 2 + y 2 + 4 x - 4 y

De forma que suas derivadas parciais são

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x x 2 + y 2 + 4 x - 4 y

f x = 2 x + 4

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y x 2 + y 2 + 4 x - 4 y

f y = 2 y - 4

Agora vamos procurar pontos que tornam as seguintes expressões verdadeiras

f x = f y = 0

x 2 + y 2 ≤ 9

Fazendo f x = f y = 0 temos

f x = 2 x + 4

2 x + 4 = 0

x = - 2

f y = 2 y - 4

2 y - 4 = 0

y = 2

Encontramos somente o ponto x , y = ( - 2 ,   2 ) , e se verificarmos na restrição veremos que ele está contido nela!

Passo 3

Agora vamos analisar para os pontos da função sujeitos a

x 2 + y 2 = 9

A expressão que relaciona a função à restrição com os multiplicadores de Lagrange é

∇ f = λ ∇ g

Onde f x ,   y = x 2 + y 2 + 4 x - 4 y e g x , y = x 2 + y 2

Como o gradiente é o conjunto das derivadas parciais, então podemos reescrever isso como

( f x , f y )   = λ ( g x , g y )

Calculando as derivadas que ainda não temos

∂ g ∂ x = ∂ ∂ x x 2 + y 2

g x = 2 x

∂ g ∂ x = ∂ ∂ x x 2 + y 2

g y = 4 y

De forma que ficamos com o seguinte

( 2 x + 4 ,   2 y - 4 )   = λ ( 2 x ,   2 y )

Dessa expressão “matricial” obtemos o seguinte sistema de equações

2 x + 4 =   2 λ x

2 y - 4 =   2 λ y

E além disso, considerando a restrição também temos

x 2 + y 2 = 9

De forma que temos o sistema

2 x + 4 =   2 λ x

2 y - 4 =   2 λ y

x 2 + y 2 = 9

Que podemos reescrever como o seguinte

x = 2 λ - 1

y = - 2 λ - 1

Onde λ ≠ 1

Ou ainda

x = - y

E substituindo esses valores na expressão da restrição temos

x ² + ( - x ) 2 = 9

2 x 2 = 9

x = ± 9 / 2  

Ou ainda

x = ± 3 2  

Dessa forma, como x = - y , para a fronteira da restrição obtemos os pontos

- 3 2 , 3 2

3 2 ,   - 3 2

Passo 4

Agora só precisamos substituir todos os pontos que encontramos na função e ver quem é máximo e quem é mínimo!

Dessa forma temos

f - 2 ,   2 = - 8

f - 3 2 , 3 2 = 9 - 12 2

f 3 2 ,   - 3 2 = 9 + 12 2

Assim, o mínimo ocorre em - 2 ,   2 e o máximo em 3 2 ,   - 3 2 !

Resposta

Mínimo

f - 2 ,   2 = - 8

Máximo

f 3 2 , - 3 2 = 9 + 12 2

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