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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.8 - Ex. 19

Determine os valores extremos de f   sujeita a ambas as restrições.

f x , y , z = y z + x y ,     x y = 1 ,         y 2 + z 2 = 1

Passo 1

Para encontrar os valores máximos e mínimos dessa função com a restrição apresentada é necessário utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange.

Esse m��todo consiste em encontrar pontos que pertençam a todas as curvas de nível ao mesmo tempo, e para isso, é necessário calcular os gradientes: vetores que indicam as direção e sentido de maior variação das funções. Ele é definido como

∇ f x , y , z = ∂ f x , y , z ∂ x , ∂ f x , y , z ∂ y , ∂ f x , y , z ∂ z

Como os pontos de máximo e mínimo que estamos procurando pertence a mais de uma curva de nível, precisamos lembrar que o vetor gradiente é sempre perpendicular a essas curvas, de modo que

∇ f x , y , z = λ ∇ g x , y , z + μ ∇ h ( x , y , z )

Para resolver a questão devemos primeiro encontrar as funções g ( x , y , z ) e h ( x , y , z ) da restrição para então calcular os vetores gradientes dessas funções e resolver um sistema de equações para encontrar os pontos críticos ( x o , y o , z o ) .

Com os pontos críticos iremos avaliar se estes são pontos de máximo ou de mínimo.

Passo 2

A questão nos dá uma restrição representada por uma curva de nível

x y = 1

Podemos expressar a função da restrição da seguinte forma

g x , y , z = 0 = x y - 1

De forma análoga para a outra restrição

h x , y , z = y 2 + z 2 - 1

Passo 3

Agora que temos as duas funções, podemos calcular suas derivadas parciais para obter seus vetores gradiente

∂ f x , y , z ∂ x = f x = ∂ ∂ x y z + x y = y

∂ f x , y , z ∂ y = f y = ∂ ∂ y y z + x y = x + z

∂ f x , y , z ∂ z = f z = ∂ ∂ z y z + x y = y

Portanto, o vetor gradiente para f ( x , y , z ) é dado por

∇ f x , y , z = y , x + z , y

Realizando o mesmo procedimento para a função g ( x , y , z )

∂ g x , y , z ∂ x = g x = ∂ ∂ x x y - 1 = y

∂ g x , y , z ∂ y = g y = ∂ ∂ y x y - 1 = x

∂ g x , y , z ∂ y = g z = ∂ ∂ z x y - 1 = 0

Portanto, o vetor gradiente para g ( x , y , z ) é dado por

∇ g x , y , z = 2 x , 2 y , 2 z

Realizando o mesmo procedimento para a função g ( x , y , z )

∂ h x , y , z ∂ x = h x = ∂ ∂ x y 2 + z 2 = 1 = 0

∂ h x , y , z ∂ y = h y = ∂ ∂ y y 2 + z 2 = 1 = 2 y

∂ h x , y , z ∂ y = h z = ∂ ∂ z y 2 + z 2 = 1 = 2 z

Portanto, o vetor gradiente para h ( x , y , z ) é dado por

∇ h x , y , z = 0 , 2 y , 2 z

Passo 4

Como o ponto que queremos encontrar pertence à curva de nível de ambas as funções, então seus vetores gradiente serão paralelos, de modo que devemos resolver

∇ f x , y , z = λ ∇ g x , y , z + μ ∇ h ( x , y , z )

Reescrevendo a expressão com os resultados encontrados, temos uma equação de vetores

y , x + z , y = λ y , x , 0 + μ ( 0,2 y , 2 z )

Igualando os componentes dos vetores podemos obter um sistema de equações

y = λ y x + z = λ x + μ 2 y y = μ 2 z

Como as variáveis estão sujeitas a restrições g ( x , y , z ) e h ( x , y , z ) , essa restrição também deve fazer parte de nosso sistema de equações

y = λ y x + z = λ x + μ 2 y y = μ 2 z x y = 1 y 2 + z 2 = 1

Passo 5

Da primeira equação temos

λ = 1

Substituindo este resultado na segunda equação temos

x + z = x + μ 2 y

z = 2 μ y

Substituindo na terceira equação

y = 4 y μ 2

μ 2 = 1 4

μ = ± 1 2

A partir desses resultados, podemos voltar às equações anteriores para obter os valores das variáveis.

Para μ = 1 2 ,

y = 2 μ z = z

y = z

Para μ = - 1 2 ,

y = - z

Substituindo esse resultado na restrição h ( x , y , z )

y 2 + ± z 2 = 1

2 z 2 = 1

z = ± 1 2

Logo, z = ± 1 2 → y = ± 1 2 .

Usando a restrição g ( x , y , z )

x ± 1 2 = 1

x = ± 2

Pelos resultados obtidos, temos os possíveis pontos críticos

2 , 1 2 , - 1 2 ;   2 , 1 2 , 1 2 ;  

- 2 , - 1 2 , - 1 2 ;   - 2 , - 1 2 , 1 2

Passo 6

Encontrados os pontos críticos, os substituiremos na função f ( x , y , z ) para determinar se estes são pontos de máximo ou de mínimo

f 2 , 1 2 , - 1 2 = f - 2 , - 1 2 , 1 2 = 1 2

f 2 , 1 2 , 1 2 = f - 2 , - 1 2 , - 1 2 = 3 2

Ou seja, o valor máximo da função nessas restrições é 3 / 2 e o valor mínimo é 1 / 2 .

Resposta

1 2 ;   3 2

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