Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.8 - Ex. 19
Determine os valores extremos de sujeita a ambas as restrições.
Passo 1
Para encontrar os valores máximos e mínimos dessa função com a restrição apresentada é necessário utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange.
Esse m��todo consiste em encontrar pontos que pertençam a todas as curvas de nível ao mesmo tempo, e para isso, é necessário calcular os gradientes: vetores que indicam as direção e sentido de maior variação das funções. Ele é definido como
Como os pontos de máximo e mínimo que estamos procurando pertence a mais de uma curva de nível, precisamos lembrar que o vetor gradiente é sempre perpendicular a essas curvas, de modo que
Para resolver a questão devemos primeiro encontrar as funções e da restrição para então calcular os vetores gradientes dessas funções e resolver um sistema de equações para encontrar os pontos críticos .
Com os pontos críticos iremos avaliar se estes são pontos de máximo ou de mínimo.
Passo 2
A questão nos dá uma restrição representada por uma curva de nível
Podemos expressar a função da restrição da seguinte forma
De forma análoga para a outra restrição
Passo 3
Agora que temos as duas funções, podemos calcular suas derivadas parciais para obter seus vetores gradiente
Portanto, o vetor gradiente para é dado por
Realizando o mesmo procedimento para a função
Portanto, o vetor gradiente para é dado por
Realizando o mesmo procedimento para a função
Portanto, o vetor gradiente para é dado por
Passo 4
Como o ponto que queremos encontrar pertence à curva de nível de ambas as funções, então seus vetores gradiente serão paralelos, de modo que devemos resolver
Reescrevendo a expressão com os resultados encontrados, temos uma equação de vetores
Igualando os componentes dos vetores podemos obter um sistema de equações
Como as variáveis estão sujeitas a restrições e , essa restrição também deve fazer parte de nosso sistema de equações
Passo 5
Da primeira equação temos
Substituindo este resultado na segunda equação temos
Substituindo na terceira equação
A partir desses resultados, podemos voltar às equações anteriores para obter os valores das variáveis.
Para ,
Para ,
Substituindo esse resultado na restrição
Logo, .
Usando a restrição
Pelos resultados obtidos, temos os possíveis pontos críticos
Passo 6
Encontrados os pontos críticos, os substituiremos na função para determinar se estes são pontos de máximo ou de mínimo
Ou seja, o valor máximo da função nessas restrições é e o valor mínimo é .