Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.8 - Ex. 31
Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da Seção 14.7 indicados.
- Exercício 41
Passo 1
Pra relembrar o que pede nesse exercício: Determine a menor distância entre o ponto e o plano .
Bom, a distância do ponto a um ponto qualquer do plano, é dada pela fórmula da distância .
Pra achar a menor distância, podemos minimizar essa função (achar o valor mínimo dela) na restrição do ponto pertencer ao plano .
Vamos fazer a função ao quadrado para não trabalharmos com raiz. Mas temos:
E
Para usar os multiplicadores de Lagrange precisamos fazer:
Passo 2
Bom, no nosso caso então temos:
Aí a gente iguala:
Isso dá...
e...
Vamos substituir na restrição agora...
Passo 3
E .
O único ponto então é o .
Passo 4
O valor da função da distância nesse ponto é:
Essa é a menor distância entre o ponto pedido e o plano 👻