Determine os valores máximo e mínimo absolutos de f(x) = e^x - 2x em [0,1] .

Passo 1

Vamos começar derivando a função:

f ' x = e x - 2

Bom, os pontos críticos são os pontos em que a derivada dá zero...

f ' x = e x - 2 = 0 → e x = 2

Sabendo que a função inversa da exponencial é a logaritmo natural, vamos fazer o seguinte:

ln ⁡ e x = ln ⁡ 2  

Daí, usando as propriedades do logaritmo, temos que:

x = ln ⁡ 2

Que é o nosso ponto crítico.

Passo 2

Vamos agora definir qual o tipo de extremo que temos em x = ln ⁡ 2 e verificar o valor da função nos pontos extremos do intervalo:

  • f 0 = e 0 - 2 0 = 1
  • f ( ln ⁡ 2 ) = e l n 2 - 2 ln ⁡ 2 = 2 - 2 ln ⁡ 2 ≅ 0,6137  
  • f 1 = e 1 - 2 1 = e - 2 ≅ 0,7

Então, a função possui um máximo absoluto em x = 0 e um mínimo absoluto em x = ln ⁡ 2 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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