Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.7 - Ex. 34
Determine os valores máximo e mínimo absolutos de no conjunto D.
Passo 1
Oie, vamos de resolução hoje.
Aqui a gente tem a função:
Neste exercício, precisamos encontrar e classificar os pontos críticos da função.
Para determinar os valores máximo e mínimo absolutos de uma função contínua em um conjunto fechado e limitado :
1. Determine os valores de nos pontos críticos de em .
2. Determine os valores extremos de na fronteira de .
3. O maior dos valores dos passos e é o valor máximo absoluto; o menor desses valores é o valor mínimo absoluto
Passo 2
Pra achar os valores de máximo e mínimos, precisamos ver onde as derivadas zeram.
Vamos fazer as derivadas parciais então:
Derivando em relação a e considerando as outras variáveis como constantes:
Derivando em relação a y e considerando as outras variáveis como constantes:
Beleza, a gente monta um sisteminha assim:
Da primeira a gente tira que:
Substitui na outra:
E então:
Temos então que:
Esses valores estão dentro do intervalo, então podemos usar esse ponto crítico:
Que é o único da função.
Passo 3
Vamos testar o valor da função no ponto crítico e nos pontos do intervalo então:
No ponto crítico a gente tem:
Temos que nosso intervalo é:
Então temos que os pontos extremos que deveremos testar nesse intervalo são: Então vamos testar:
Agora outro intervalo:
Mais um intervalo:
E o último intervalo:
Vemos então que temos um máximo absoluto em que é , e um mínimo absoluto em que é .
Resposta
Valor máximo: 19
Valor mínimo: -11