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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 4.2 - Ex. 3c

Encontre o máximo e mínimo absoluto de cada uma das seguintes funções

3.c

f x , y = e x 2 + y 2 + y

x ≤ 1   ; y ≤ 1

Passo 1

Antes de começar a resolver temos que lembrar que essa função temos que saber se vão existir máximos e mínimos na nossa região. Um cara bacana chamado Weierstrass fez um teorema e pôs seu próprio nome. O teorema de Weierstrass nos diz que se estamos numa região fechada logo vão sim existir máximos e mínimos, seja dentro da região ou seja na borda.

Nossa região é

x ≤ 1   ; y ≤ 1

Fechadinha, sem buracos e limitada. Chamamos regiões assim de compactas. Otimo! nosso teorema se aplica nela.

Passo 2

Nossa função é

f x , y = e x 2 + y 2 + y

E faremos a mesma coisa que cálculo 1. Vamos derivar e encontrar os pontos onde nossa derivada se anula. Nada de novo. Já fizemos isso várias e várias vezes.

d f d x =   e x 2 + y 2 + y ⋅ 2 x

d f d y =   e x 2 + y 2 + y ⋅ 2 y + 1

Passo 3

Agora vamos descobrir onde nossas derivadas parciais se anulam

d f d x =   e x 2 + y 2 + y ⋅ 2 x = 0

O problema é que a função exponencial nunca se anula. Assim cabe ao fator 2 x esse papel

d f d x = 0 → x = 0

Agora vãos calcular a parcial em y

d f d y =   e x 2 + y 2 + y ⋅ 2 y + 1

e x 2 + y 2 + y ⋅ 2 y + 1 = 0

2 y + 1 = 0

y =   - 1 2  

Passo 4

Temos então que nosso ponto crítico é 0 , - 1 2 . Vamos testar esse ponto e ver o valor da nossa função

f x , y = e x 2 + y 2 + y

f 0 , - 1 2 = e 1 4 - 1 2

= e - 1 4

Passo 5

Agora vem a parte chatinha. Temos que conferir o valor da função da borda. Nossa região é um quadrado, temos 4 segmentos de retas

x ,   - 1 ,   x ∈ - 1,1

x ,   1 ,   x ∈ - 1,1

- 1 ,   y ,   y ∈ - 1,1

1 ,   y ,   y ∈ - 1,1

O que temos que fazer agora é parametrizar nossas funções e derivar, e depois ver quais valores aparecem pra gente

f x , y = e x 2 + y 2 + y

Na reta

x ,   - 1 ,   x ∈ - 1,1

f x , - 1 = e x 2 + 1 2 - 1

f x , - 1 = e x 2

Essa função nem precisamos derivar pra saber que pelo formato dela, ela só apresenta valor mínimo e quando x =   0 . Vamos descobrir o valor da nossa função nesse ponto

f 0 , - 1 = e 0 → 1

Vamos agora para a parametrização II

f x , y = e x 2 + y 2 + y

Na reta

x ,   1 ,   x ∈ - 1,1

Assim ficamos com

f x , 1 = e x 2 + 1 + 1

f x , 1 = e x 2 + 2

Assim nossa função fica com valor mínimo em x = 0 . Pelo mesmo motivo que a anterior. Vamos descobrir o valor da nossa função nesse ponto

f 0,1 = e 2  

Vamos agora para a parametrização III

f x , y = e x 2 + y 2 + y

Na reta

- 1 ,   y ,   y ∈ - 1,1

Assim ficamos com

f - 1 , y = e ( - 1 ) 2 + y 2 + y

Agora não tem jeito temos que derivar, não está tão claro os pontos críticos

f - 1 , y ' = 2 y + 1 e 1 + y 2 + y

Assim o ponto critico é em y = - 1 2 . Vamos descobrir o valor da nossa função nesse ponto

f - 1 , - 1 2 = e 1 + 1 4 - 1 2

= e 3 4

Vamos agora para a parametrização IV

f x , y = e x 2 + y 2 + y

Na reta

1 ,   y ,   y ∈ - 1,1

Assim ficamos com

f 1 , y = e ( 1 ) 2 + y 2 + y

Como o valor da nossa função é a mesma da parametrização III, podemos afirmar que

f 1 , - 1 2 = e 1 + 1 4 - 1 2

= e 3 4

Além disso é interessante ver nos pontos extremos da nossa região, ou seja, em

1,1 ,   1 , - 1 - 1 , - 1 - 1,1

f - 1 , - 1 = e 1

f 1 , - 1 = e 1

f - 1,1 = e 3

f 1,1 = e 3

Passo 6

Estão todos vivos ai ? Eu sei, é longo esse processo de descobrir máximos e mínimos. Embora não seja um cálculo absurdamente difícil, é um cálculo que demanda bastante tempo. Pegando todos os pontos interessantes que descobrimos no caminho podemos dizer que

O máximo da nossa região é em

f - 1,1 = e 3

f 1,1 = e 3

O mínimo da nossa região é em

f 0 , - 1 2 = e - 1 4

Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

O máximo da nossa região é em

f - 1,1 = e 3

f 1,1 = e 3

O mínimo da nossa região é em

f 0 , - 1 2 = e - 1 4

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