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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.7 - Ex. 53

53. Se o comprimento da diagonal de uma caixa retangular deve ser L , qual é o maior volume possível?

Passo 1

Então, pessoal... Aqui nós temos uma caixa retangular, cuja diagonal mede L , e queremos saber o maior volume possível para ela.

Inicialmente, vamos considerar os lados do retângulo como x , y e z . Então a diagonal fica o seguinte:

x 2 + y 2 + z 2 = L 2

E o volume fica:

V x , y , z = x y z

Da primeira expressão, podemos escrever:

z = L 2 - x 2 - y 2

Agora substituímos isso na expressão para o volume, que agora dependerá só de x e y , reduzindo a complexidade do problema.

V x , y = x y L 2 - x 2 - y 2

Agora vamos explorar essa função em busca do seu valor máximo, ou seja, encontraremos os pontos críticos e veremos se eles correspondem a um máximo.

Vem comigo que eu te explico...

Passo 2

Os pontos críticos de V ( x , y ) são aqueles em que o seu gradiente se anula, ou seja,

V x = 0

V y = 0

Para o V x :

V x = ∂ ∂ x V ( x , y )

Usando a regra do produto e a regra da cadeia, temos:

V x = y L 2 - x 2 - y 2 + 1 2 ⋅ - 2 x ⋅ x y L 2 - x 2 - y 2

Logo,

V x = y L 2 - x 2 - y 2 - x 2 y L 2 - x 2 - y 2

Para o V y :

V y = ∂ ∂ y V

Assim, usando a regra da cadeia e do produto novamente, teremos:

V y = x L 2 - x 2 - y 2 - x y 2 L 2 - x 2 - y 2

Igualando as duas derivadas a zero obtemos os pontos críticos:

y L 2 - x 2 - y 2 - x 2 y L 2 - x 2 - y 2 = 0 x L 2 - x 2 - y 2 - x y 2 L 2 - x 2 - y 2 = 0

Nas duas equações nós podemos juntar os denominadores, ficando com:

y L 2 - 2 x 2 - y 2 L 2 - x 2 - y 2 = 0 x L 2 - x 2 - 2 y 2 L 2 - x 2 - y 2 = 0

Passo 3

Agora só nos importa o denominador de cada equação. Então temos o seguinte:

y L 2 - 2 x 2 - y 2 = 0 x L 2 - x 2 - 2 y 2 = 0

Como x , y ≠ 0 :

2 x 2 + y 2 = L 2 x 2 + 2 y 2 = L 2

Resolvendo o sistema:

x = y = L 3

Agora é só achar o z :

x 2 + y 2 + z 2 = L 2

Assim,

z = L 3

Então o volume fica o seguinte:

V = L 3 × L 3 × L 3 = L 3 3 3

Resposta

L 3 3 3

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Deseja-se construir um paralelepípedo-retângulo com área total de 100 c m 2 . Determirar as dimensões da caixa para o volume ser máximo.
Pede-se determinar três números positivos cuja soma seja 36 e cujo produto seja máximo.
Determine o ponto da superfície x y z = 1 , x , y0 que se encontra mais perto da origem.
Determine, entre os triângulos de mesmo perímetro, o de área máxima.Sugestão: Utilize a fórmula A = p p - a p - b p - c que fornece a área do triângulo em função dos lados a , b e c e do semiperímetro
Determine o ponto da reta x + 2 y + z = 1 2 x + y + z = 4 Que se encontra mais próximo da origem.