53. Se o comprimento da diagonal de uma caixa retangular deve ser L , qual é o maior volume possível?

Enunciado

Então, pessoal... Aqui nós temos uma caixa retangular, cuja diagonal mede , e queremos saber o maior volume possível para ela.

Inicialmente, vamos considerar os lados do retângulo como , e . Então a diagonal fica o seguinte:

E o volume fica:

Da primeira expressão, podemos escrever:

Agora substituímos isso na expressão para o volume, que agora dependerá só de e , reduzindo a complexidade do problema.

Agora vamos explorar essa função em busca do seu valor máximo, ou seja, encontraremos os pontos críticos e veremos se eles correspondem a um máximo.

Vem comigo que eu te explico...

Os pontos críticos de são aqueles em que o seu gradiente se anula, ou seja,

Para o :

Usando a regra do produto e a regra da cadeia, temos:

Logo,

Para o :

Assim, usando a regra da cadeia e do produto novamente, teremos:

Igualando as duas derivadas a zero obtemos os pontos críticos:

Nas duas equações nós podemos juntar os denominadores, ficando com:

Agora só nos importa o denominador de cada equação. Então temos o seguinte:

Como :

Resolvendo o sistema:

Agora é só achar o :

Assim,

Então o volume fica o seguinte: