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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.7 - Ex. 35

Determine os valores máximo e mínimo absolutos de f no conjunto D.

f x , y = x 2 + 2 y 2 - 2 x - 4 y + 1       D = x , y 0 ≤ x ≤ 2 ,   0 ≤ y ≤ 3 }

Passo 1

Oie, vamos de resolução hoje.

Aqui a gente tem a função:

f x , y = x 2 + 2 y 2 - 2 x - 4 y + 1      

Neste exercício, precisamos encontrar e classificar os pontos críticos da função.

Para determinar os valores máximo e mínimo absolutos de uma função contínua f em um conjunto fechado e limitado D :

1. Determine os valores de f nos pontos críticos de f em D .

2. Determine os valores extremos de f na fronteira de D .

3. O maior dos valores dos passos 1 e 2 é o valor máximo absoluto; o menor desses valores é o valor mínimo absoluto

Passo 2

Pra achar os valores de máximo e mínimos, precisamos ver onde as derivadas zeram.

Vamos fazer as derivadas parciais então:

f x , y = x 2 + 2 y 2 - 2 x - 4 y + 1      

Derivando em relação a x considerando as outras variáveis como constantes:

f x = 2 x - 2

Derivando em relação a y considerando as outras variáveis como constantes:

f y = 4 y - 4

Beleza, a gente monta um sisteminha para encontrar os zeros das derivadas:

2 x - 2 = 0 → x = 1 4 y - 4 = 0 → y = 1

O único ponto crítico então é:

( 1,1 )

Passo 3

Vamos testar o valor da função no ponto crítico e nos pontos do intervalo então:

No ponto crítico a gente tem:

f 1,1 = - 2

Temos que nosso intervalo é:

D = x , y 0 ≤ x ≤ 2 ,   0 ≤ y ≤ 3 }

Então temos que os pontos extremos que deveremos testar nesse intervalo são:

0,0   ; 0,3   ; 2,0   ; 2,3

Agora a gente calcula os valores da função nesses intervalos:

f x , y = x 2 + 2 y 2 - 2 x - 4 y + 1      

  • f 0,0 = 1
  • f 0,3 = 7
  • f 2,0 = 1
  • f 2,3 = 7

Vemos então que temos máximos absolutos em 0,3 ( 2,3 ) que é 7 , e um mínimo absoluto em ( 1,1 ) que é - 2 .

Resposta

Valor máximo: 7

Valor mínimo: -2

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