Encontre o ponto crítico de

f(x, y) = xy + 2x - ln(x^2 * y)

no primeiro quadrante aberto (x > 0, y > 0) e mostre que f assume um valor minimo ali.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Encontraremos o ponto crítico de f ( x , y ) = x y + 2 x + l n ⁡ x 2 y no primeiro quadrante aberto ( x > 0 , y > 0 ) e mostraremos que f possui um valor mínimo lá.

Passo 2

Para começar vamos encontrar as derivadas parciais para a função

f ( x , y ) = x y + 2 x + l n ⁡ x 2 y f x ( x , y ) = y + 2 - 2 x = 0 f y ( x , y ) = x - 1 y = 0

Resolvendo o sistema encontramos:

x = 1 2 y = 2

Passo 3

Encontraremos agora as segundas derivadas e aplicaremos o ponto 1 2 , 2 encontrado:

f x x 1 2 , 2 = 2 x 2 1 2 , 2 = 8 f y y 1 2 , 2 = 1 y 2 1 2 , 2 = 1 4 f x y 1 2 , 2 = 1

Passo 4

Temos então que:

f x x f y y - f x y 2 = 1 > 0 f x x > 0

Resposta

o ponto 1 2 , 2 é portanto um local de mínimo. Seu valor é:

f 1 2 , 2 = 2 - l n ⁡ 1 2 = 2 + l n ⁡ 2

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