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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.7 - Ex. 42

Encontre o ponto crítico de

f ( x , y ) = x y + 2 x - l n ⁡ x 2 y

no primeiro quadrante aberto ( x > 0 , y > 0 ) e mostre que f assume um valor minimo ali.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Encontraremos o ponto crítico de f ( x , y ) = x y + 2 x + l n ⁡ x 2 y no primeiro quadrante aberto ( x > 0 , y > 0 ) e mostraremos que f possui um valor mínimo lá.

Passo 2

Para começar vamos encontrar as derivadas parciais para a função

f ( x , y ) = x y + 2 x + l n ⁡ x 2 y f x ( x , y ) = y + 2 - 2 x = 0 f y ( x , y ) = x - 1 y = 0

Resolvendo o sistema encontramos:

x = 1 2 y = 2

Passo 3

Encontraremos agora as segundas derivadas e aplicaremos o ponto 1 2 , 2 encontrado:

f x x 1 2 , 2 = 2 x 2 1 2 , 2 = 8 f y y 1 2 , 2 = 1 y 2 1 2 , 2 = 1 4 f x y 1 2 , 2 = 1

Passo 4

Temos então que:

f x x f y y - f x y 2 = 1 > 0 f x x > 0

Resposta

o ponto 1 2 , 2 é portanto um local de mínimo. Seu valor é:

f 1 2 , 2 = 2 - l n ⁡ 1 2 = 2 + l n ⁡ 2

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Considere a forma quadrática Q x , y = a x 2 + 2 b x y + c y 2 . Sejm Q x 1 ,y 1 ,Q x 2 , y 2 os valores mínimo e máximo de Q ( x , y ) em A =x , y ∈ R 2 x 2 + y 2 = 1 . Prove:Se Q x 1 ,y 10 , então Q
(Teorema de Weirestrass). Seja A ⊂ R 2 compacto e seja f : A → R contínua. Prove que f assume um valor máximo e um valor mínimo.
Suponha A um subconjunto fechado do R 2 e x 0 ,y 0 um ponto de acumulação de A . Prove que x 0 ,y 0 ∈ A
Seja A um subconjunto fechado do R 2 e seja f : A → R contínua. Prove que f é limitada em A . (Sugestão: Suponha que f não seja limitada e construa uma sequência de retângulos como a do exercício 11,
Seja R 1 ,R 2 , ⋯ ,R n ,⋯ uma sequência de retângulos em R 2 ,onde R n = x , y ∈ R 2a n ≤ x ≤ c n ,a n - ≤ y ≤ b n } , tais que R 1 ⊃ R 2 ⊃ ⋯ ⊃R n ⊃ ⋯ . Suponha que d n = | a n ,a n - - c n ,b n | ten