Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.7 - Ex. 36
Determine os valores máximo e mínimo absolutos de no conjunto D.
Passo 1
Oie, vamos de resolução hoje.
Aqui a gente tem a função:
Neste exercício, precisamos encontrar e classificar os pontos críticos da função.
Para determinar os valores máximo e mínimo absolutos de uma função contínua em um conjunto fechado e limitado :
1. Determine os valores de nos pontos críticos de em .
2. Determine os valores extremos de na fronteira de .
3. O maior dos valores dos passos e é o valor máximo absoluto; o menor desses valores é o valor mínimo absoluto
Passo 2
Pra achar os valores de máximo e mínimos, precisamos ver onde as derivadas primeira zeram, esses pontos serão os pontos críticos.
Vamos fazer as derivadas parciais então...
Derivando em relação a :
E agora derivando em relação a :
Essas derivadas só vão ser zero se
Então é o único ponto crítico da função em.
A região é um círculo, de raio então, os pontos a serem considerados da fronteira são:
Pois veja que e no conjunto , e veja que iremos trabalhar nos extremos da fronteia.
E também temos o que já falamos.
Passo 3
Vamos ver os valores ao longo de , em que
Temos que
Fazendo encontramos:
A derivada disso é:
E dá zero quando:
(lembrando que são maiores que zero)
E daí,
E
É mais um ponto crítico.
Passo 4
Vamos testar o valor da função no ponto crítico e nos pontos do intervalo então:
No ponto crítico a gente tem:
Temos que nosso intervalo é:
Então temos que os pontos extremos que deveremos testar nesse intervalo são:
Testando então esses pontos na função:
Vemos então que temos pontos de mínimo absoluto em e um máximo absoluto em que é .
Resposta
Valor máximo: 2
Valor mínimo: 0