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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.6 - Ex. 45

Suponha que o sólido tenha densidade constante k .

Encontre o momento de inércia em relação ao eixo z do cilindro sólido x 2 + y 2 ≤ a 2 , 0 ≤ z ≤ h .

Passo 1

Vamos lá pessoal, tudo certo? Temos que encontrar o momento de inércia em relação ao eixo z de um cilindro sólido que possui a seguinte equação:

x 2 + y 2 ≤ a 2

Sabemos ainda que a altura começa na origem e termina em h . Vamos recordar como faz para o cálculo do momento de inércia?

O momento de inércia em relação ao eixo z é dado por

I z = ∭ E x 2 + y 2 ρ x , y , z   d V

Sendo a região E , a região do sólido. Agora que tudo ficou simples, vamos colocar a mão na massa?

Passo 2

A primeira coisa que temos que enxergar é que nosso sólido é um cilindro, e possui sua equação como:

x 2 + y 2 ≤ a 2

Isso nos diz que vale a pena pensarmos em coordenadas polares para facilitar os cálculos. (Sempre que o sólido for cilíndrico vale a pensar em alterar para coordenadas polares.)

Lembre-se também que o volume de um cilindro é base x altura. Então d V = d A d z

Como o enunciado nos diz que a densidade ρ = k e que a variação em d z é de 0 a h .

= k ∭ E x 2 + y 2   d V = ∬ D ∫ 0 h k x 2 + y 2 d z d A

Resolvendo a primeira integral temos:

∬ D k x 2 + y 2 z 0 h d A

Fazendo os limites de integração:

= k h ∬ D x 2 + y 2 d A

A variação de x e y sai de x 2 + y 2 ≤ a 2 , se usarmos coordenadas polares temos

0 ≤ r ≤ a

0 ≤ θ ≤ 2 π

E a integral fica

k h ∬ D x 2 + y 2 d A = k h ∫ 0 2 π ∫ 0 a r 2 r   d r d θ

= 2 π k h r 4 4 0 a = π k h a 4 2

Resposta

I z = π k h a 4 2

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