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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.5 - Ex. 12

Use a regra da cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t .

z = tan ⁡ u v

u = 2 s + 3 t

v = 3 s - 2 t

Passo 1

Oie, meu amigo. Estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Aqui o que temos é o seguinte, dada a função:

z = tan ⁡ u v

Que é uma curva parametrizada, eles nos pedem para que a gente encontre as derivadas parciais em relação a duas variáveis que fazem parte da parametrização:

∂ z ∂ s   ;   ∂ z ∂ t

Devemos então nesses casos, utilizar a regra da cadeia:

∂ z ∂ s = ∂ z ∂ u ⋅ ∂ u ∂ s + ∂ z ∂ v ⋅ ∂ v ∂ s

E

∂ z ∂ t = ∂ z ∂ u ⋅ ∂ u ∂ t + ∂ z ∂ v ⋅ ∂ v ∂ t

Passo 2

Vamos começar então montando nossa derivada parcial:

∂ z ∂ s = ∂ z ∂ u ⋅ ∂ u ∂ s + ∂ z ∂ v ⋅ ∂ v ∂ s

z = tan ⁡ u v

u = 2 s + 3 t

v = 3 s - 2 t

Então temos:

∂ z ∂ s = ∂ ∂ u tan ⁡ u v ⋅ ∂ ∂ s 2 s + 3 t + ∂ ∂ v tan ⁡ u v ⋅ ∂ ∂ s 3 s - 2 t

Vamos fazer as derivadas parciais, aqui a gente precisa aplicar a regra da cadeia:

∂ ∂ u tan ⁡ u v = 1 v sec 2 ⁡ u v

Aqui é mais tranquilo:

∂ ∂ s 2 s + 3 t = 2

Novamente a gente precisa aplicar a regra da cadeia:

∂ ∂ v tan ⁡ u v = - u v 2 ⋅ sec 2 ⁡ u v

E por ultimo nesse momento a gente encontra:

∂ ∂ s 3 s - 2 t = 3

Agora a gente monta a derivada parcial:

∂ z ∂ s = 2 v sec 2 ⁡ u v - 3 u v 2 sec 2 ⁡ u v

Passo 3

Agora é hora de encontrarmos z t :

∂ z ∂ t = ∂ z ∂ u ⋅ ∂ u ∂ t + ∂ z ∂ v ⋅ ∂ v ∂ t

Veja que o que falta a gente calcular aqui são as derivadas das parametrizações:

u = 2 s + 3 t

v = 3 s - 2 t

Temos então:

∂ ∂ t 2 s + 3 t = 3

E por último:

∂ ∂ t 3 s - 2 t = - 2

Sendo assim:

∂ z ∂ t = ∂ z ∂ u ⋅ ∂ u ∂ t + ∂ z ∂ v ⋅ ∂ v ∂ t

Substituindo:

∂ z ∂ s = 3 v sec 2 ⁡ u v + 2 u v 2 sec 2 ⁡ u v

Resposta

∂ z ∂ s = s e c 2 u v ⋅ [ 2 v - 3 u v 2 ]

∂ z ∂ t = s e c 2 u v ⋅ [ 3 v + 2 u v 2 ]

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