Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.7 - Ex. 7
Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
Passo 1
Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de encontrar pontos críticos, vamos lá!
A questão nos dá a função
E nos pede para encontrar os máximos/mínimos e os pontos de sela, ou seja, todos os pontos críticos! Mas como fazer isso? Só precisamos encontrar os pontos que atendem o seguinte critério
Em seguida, para identificar os pontos, vamos usar o teste da derivada segunda! A fórmula é a seguinte
Onde
então é um mínimo local.
então é um máximo local.
então não é nem mínimo e nem máximo local (o ponto de sela).
Passo 2
Expandindo a função
Tomando as derivadas parciais de primeira ordem:
Os pontos críticos são obtidos fazendo . Assim, da primeira equação temos
Substituindo isso na expressão :
Assim,
Multiplicando a equação por :
Passo 3
Se a gente fizer , podemos responder essa equação como se fosse uma equação do segunda grau normal!
Como não faria sentido (afinal ) temos então . Assim,
E como temos
quando temos , enquanto para obtemos . Assim, os pontos críticos de são
Passo 4
Para o teste da segunda derivada, tomamos as segundas derivadas:
Assim, será
Logo,
Tanto para como para , temos
Como , esses dois pontos são pontos de sela da função!
Resposta
Os pontos críticos da função são
E ambos são pontos de sela.