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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.3 - Ex. 1i

1. Estude com relação a máximos e mínimos locais a função f x , y = x 4 + x y + y 2 - 6 x - 5 y

Passo 1

Primeiro, veremos quais são os pontos críticos.

∂ f ∂ x = 4 x 3 + y - 6 = 0                                     ∂ f ∂ y = x + 2 y - 5 = 0    

∂ f ∂ x = y = - 4 x 3 + 6                                     ∂ f ∂ y = y = - x 2 + 5 2  

Igualando as funções para encontrar o ponto de encontro,

- 4 x 3 + 6   = - x 2 + 5 2  

- 4 x 3 + x 2 + 6 - 5 2 = 0

8 x 3 - x - 7 = 0

x ≅ 1

y = - x 2 + 5 2  

y = - 1 2 + 5 2  

y = 2

1 , 2 é   u m   p o n t o   c r í t i c o

Passo 2

Hessiano de f,

H x , y = ∂ 2 f ∂ x 2 x , y ∂ 2 f ∂ x ∂ y x , y ∂ 2 f ∂ x ∂ y x , y ∂ 2 f ∂ y 2 x , y   ,   s e   H x , y = 0 ,   n a d a   s e   p o d e   a f i r m a r . s e   H x , y < 0 , p o n t o   d e   s e l a . s e   H x , y > 0 , ∂ 2 f ∂ x 2 > 0 ,   m í n i m o   l o c a l ∂ 2 f ∂ x 2 < 0 ,   m á x i m o   l o c a l

Calculando,

f x , y = x 4 + x y + y 2 - 6 x - 5 y

∂ f ∂ x = 4 x 3 + y - 6                                       ∂ f ∂ y = x + 2 y - 5                                         ∂ f ∂ x ∂ y = ∂ f ∂ y ∂ x = 1        

∂ 2 f ∂ x 2 = 12 x 2                                                   ∂ 2 f ∂ y 2 = 2

H x , y = 12 x 2 1 1 2 = 24 x 2 - 1 = >   H 1,2 > 0 , ∂ 2 f ∂ x 2 > 0 ∴ p o n t o   m í n i m o

Resposta

1,2 é mínimo local.

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