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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.3 - Ex. 1a

1. Estude com relação a máximos e mínimos locais a função f x , y = x 2 + 3 x y + 4 y 2 - 6 x + 2 y .

Passo 1

Primeiro, veremos quais são os pontos críticos.

∂ f ∂ x =   2 x + 3 y - 6   = 0                                           ∂ f ∂ y = 3 x + 8 y + 2 = 0

  ∂ f ∂ x = y = - 2 3 x + 2                                     ∂ f ∂ y = y = - 3 8 x - 1 4

Igualando as funções para encontrar o ponto de encontro,

- 2 3 x + 2 = - 3 8 x - 1 4

- 2 3 x + 3 8 x = - 2 - 1 4

- 16 24 x + 9 24 x = - 8 4 - 1 4

- 7 24 x = - 9 4

x = - 9 4 ⋅ - 24 7

x = - 9 1 ⋅ - 6 7

x = 54 7

y = - 3 8 x - 1 4

y = - 3 8 ⋅ 54 7 - 1 4

y = - 3 4 ⋅ 27 7 - 1 4

y = - 81 28 - 7 28 = - 88 28 = - 44 14 = - 22 7

54 7 , - 22 7   é   u m   p o n t o   c r í t i c o .

Passo 2

Hessiano de f,

H x , y = ∂ 2 f ∂ x 2 x , y ∂ 2 f ∂ x ∂ y x , y ∂ 2 f ∂ x ∂ y x , y ∂ 2 f ∂ y 2 x , y   ,   s e   H x , y = 0 ,   n a d a   s e   p o d e   a f i r m a r . s e   H x , y < 0 , p o n t o   d e   s e l a . s e   H x , y > 0 , ∂ 2 f ∂ x 2 > 0 ,   m í n i m o   l o c a l ∂ 2 f ∂ x 2 < 0 ,   m á x i m o   l o c a l

Calculando,

f x , y = x 2 + 3 x y + 4 y 2 - 6 x + 2 y .

∂ f ∂ x =   2 x + 3 y - 6                                               ∂ f ∂ y = 3 x + 8 y + 2                                                 ∂ f ∂ x ∂ y = ∂ f ∂ y ∂ x = 3        

∂ 2 f ∂ x 2 = 2                                                   ∂ 2 f ∂ y 2 = 8

H x , y = 2 3 3 8 = 16 - 9 = 7 > 0 ,   ∂ 2 f ∂ x 2 > 0 ,   ∴ m í n i m o   l o c a l .

Resposta

54 7 , - 22 7   é     mínimo local.

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