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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.3 - Ex. 1m

1. Estude com relação a máximos e mínimos locais a função f x , y = 1 x 2 + 1 y + x y , x > 0   e   y > 0

Passo 1

Primeiro, veremos quais são os pontos críticos.

∂ f ∂ x =   - 2 x 3 + y = 0                                         ∂ f ∂ y = - 1 y 2 + x = 0

∂ f ∂ x = y = 2 x 3                                         ∂ f ∂ y = y = 1 x

Igualando as funções para encontrar o ponto de encontro,

2 x 3 = 1 x

x > 0   e   y > 0

x 1 = x 3 2

0 = x 3 - 2 x

0 = x ( x 2 x - 2 )

x = 2 2 5

y = 2 x 3        

y = 2 2 2 5 3        

y = 1 2 5

2 2 5 , 1 2 5 é   p o n t o   c r í t i c o

Passo 2

Hessiano de f,

H x , y = ∂ 2 f ∂ x 2 x , y ∂ 2 f ∂ x ∂ y x , y ∂ 2 f ∂ x ∂ y x , y ∂ 2 f ∂ y 2 x , y   ,   s e   H x , y = 0 ,   n a d a   s e   p o d e   a f i r m a r . s e   H x , y < 0 , p o n t o   d e   s e l a . s e   H x , y > 0 , ∂ 2 f ∂ x 2 > 0 ,   m í n i m o   l o c a l ∂ 2 f ∂ x 2 < 0 ,   m á x i m o   l o c a l

Calculando,

f x , y = 1 x 2 + 1 y + x y , x > 0   e   y > 0

∂ f ∂ x =   - 2 x 3 + y                                         ∂ f ∂ y = - 1 y 2 + x                                         ∂ f ∂ x ∂ y = ∂ f ∂ y ∂ x = 1        

∂ 2 f ∂ x 2 = 6 x 4                                                   ∂ 2 f ∂ y 2 = 2 y 3

H x , y = 6 x 4 1 1 2 y 3 = 12 x 4 y 3 - 1 = > H 2 2 5 , 1 2 5 > 0 , ∂ 2 f ∂ x 2 > 0 ∴ p o n t o   m í n i m o

Resposta

2 2 5 , 1 2 5 é mínimo local.

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