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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.3 - Ex. 1d

1. Estude com relação a máximos e mínimos locais a função f x , y = - x 2 + y 2 + 2 x y + 4 x - 2 y .

Passo 1

Primeiro, veremos quais são os pontos críticos.

∂ f ∂ x =   - 2 x + 2 y + 4 = 0                                         ∂ f ∂ y = 2 y + 2 x - 2 = 0  

∂ f ∂ x =   y = x - 2                                         ∂ f ∂ y = y = - x + 1

Igualando as funções para encontrar o ponto de encontro,

x - 2 = - x + 1

x + x = 2 + 1

2 x = 3

x = 3 2

y = - x + 1

y = - 3 2 + 1  

y = - 1 2

3 2 , - 1 2 é   u m   p o n t o   c r í t i c o

Passo 2

Hessiano de f,

H x , y = ∂ 2 f ∂ x 2 x , y ∂ 2 f ∂ x ∂ y x , y ∂ 2 f ∂ x ∂ y x , y ∂ 2 f ∂ y 2 x , y   ,   s e   H x , y = 0 ,   n a d a   s e   p o d e   a f i r m a r . s e   H x , y < 0 , p o n t o   d e   s e l a . s e   H x , y > 0 , ∂ 2 f ∂ x 2 > 0 ,   m í n i m o   l o c a l ∂ 2 f ∂ x 2 < 0 ,   m á x i m o   l o c a l

Calculando,

f x , y = - x 2 + y 2 + 2 x y + 4 x - 2 y .

∂ f ∂ x =   - 2 x + 2 y + 4                                         ∂ f ∂ y = 2 y + 2 x - 2                                         ∂ f ∂ x ∂ y = ∂ f ∂ y ∂ x = 2        

∂ 2 f ∂ x 2 = - 2                                                   ∂ 2 f ∂ y 2 = 2

H x , y = - 2 2 2 2 = - 4 - 4 < 0 ,   ∴ p o n t o   d e   s e l a

Resposta

3 2 , - 1 2   s e l a .

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Mostre que f x ,y = x 2 y e - x 2 - y 2 tem valores máximos em ± 1 , 1 2 e valores mínimos em ± 1 ,- 1 2 . Mostre também que f tem infinitos outros pontos críticos e que D = 0 em cada um deles. Quais
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