Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.8 - Ex. 30
Resolva pelo método dos multiplicadores de Lagrange o exercício da seção .
Determine o ponto do plano que está mais próximo do ponto .
Passo 1
Na seção resolvemos o problema isolando na equação do plano e substituindo na função da distância. Agora resolveremos o mesmo problema porém usando os multiplicadores de Lagrange!
Queremos achar um ponto cuja distância até seja mínima. Assim, queremos minizmizar a função
Todavia, esse ponto deve estar no plano , de modo que queremos minimizar sujeita à restrição
Assim, os candidatos a solução do problema são dados por
Passo 2
Tomando os gradientes:
Assim, a equação fica
Portanto,
Substituindo na equação do plano:
Assim, obtemos
Como só obtemos um candidato a mínimo e sabemos que pela natureza do problema esse mínimo existe, esse ponto é a solução do problema!
Portanto, o ponto pedido é