Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.7 - Ex. 10
Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vista e domínio convenientes para mostrar os aspectos importantes da função.
Passo 1
Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos deu a seguinte função:
Queremos determinar os valores de máximos e mínimos locais.
Para isso, precisamos fazer as derivadas parciais com relação a e e igualar os seus resultados a zero para encontrarmos os pontos críticos.
Em seguida, iremos fazer as segundas derivadas parciais e aplicar na seguinte expressão (chamada de teste da segunda derivada):
Com isso, a gente analisa as seguinte proposições:
- Se e , então é um mínimo local;
- Se e , então é um máximo local;
- Se , não é nem máximo e nem mínimo local.
Depois, deveremos determinar também os pontos de sela da função. Nesse caso, estamos referindo a última das proposições que acabamos de falar!!
Em outras palavras, se para um ponto , então esse ponto é o nosso ponto de sela da função! Vai ser nesse ponto em que o gráfico da função cruza o plano tangente em .
Por fim, iremos utilizar uma ferramenta gráfica para plotar o gráfico!!
😉
Passo 2
Vamos fazer as derivadas parciais de , a começar por :
Fazendo o como constante e derivando , temos:
Agora vamos para :
Fazendo o como constante e derivando , temos:
Igualando ambas equações a zero e colocando num sistema, obtemos:
Resolvendo o sistema, encontramos e .
Agora vamos para as derivadas segundas!!
Passo 3
Vamos fazer . Para isso, basta derivarmos com relação a :
Perceba que para qualquer um dos valores encontrados de no passo anterior.
Agora vamos fazer . Para isso, basta derivarmos com relação a :
Por fim, vamos fazer . Para isso, basta derivarmos com relação a :
Agora é só substituir na expressão de !! Bora lá!!
Passo 4
Sabemos que:
Assim, substituindo pelos valores que encontramos no passo anterior, temos, para :
Percebemos que . Assim, podemos concluir que o ponto é um ponto de sela.
Passo 5
Agora para o , de forma análoga, temos:
Percebemos que e . Assim, podemos concluir que o ponto é um máximo local.
Passo 6
Por fim, para o , de forma análoga, temos:
Percebemos que e . Assim, podemos concluir que o ponto é um máximo local.
Passo 7
Plotando a nossa função, obtemos:
Perceba que os pontos correspondem ao que encontramos!!! 😉
Resposta
é um ponto de sela.
é um máximo local.
é um máximo local.
