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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.6 - Ex. 60

Em quais pontos a reta normal que passa pelo ponto ( 1 ,   2 ,   1 ) no elipsoide 4 x 2 + y 2 + 4 z 2 = 12 intercepta a esfera x 2 + y 2 + z 2 = 102 ?

Passo 1

A questão fornece um elipsoide 4 x 2 + y 2 + 4 z 2 = 12 e pede para acharmos onde a reta normal a essa superfície no ponto ( 1 ,   2 ,   1 ) intercepta a esfera x 2 + y 2 + z 2 = 102 . Para isso, o primeiro passo é achar a equação dessa reta normal!

  1. Encontrar o vetor gradiente do Elipsoide
  2. Parametrizar a Reta normal
  3. Substituir na Equação da esfera
  4. Resolver para o spontos de interseção
  5. Verificar e concluir indicando os pontos onde a reta normal intersecta a esfera.

E agora sim! Passos dados, mãos a obra!

Passo 2

Para resolver isso vamos o seguinte truque: podemos interpretar o paraboloide como a superfície de nível 0 da seguinte função de três variáveis:

f x , y , z = 4 x 2 + y 2 + 4 z 2 - 12

  1. Vamos calcular o gradiente dessa função, ele é orotogonal às superfícies de nível, e será o vetor diretor da reta normal! Tomando o gradiente:

    2. ∇ f x , y , z = ( 8 x ,   2 y ,   8 z )

  2. Substituindo o ponto ( 1 ,   2 ,   1 ) no gradiente

    3. ∇ f 1 ,   2 ,   1 = ( 8 ,   4 ,   8 )

    Como só estamos interessados na direção do gradiente, vamos usar u → = ( 2 ,   1 ,   2 )

    Assim, a equação da reta será

    x ,   y ,   z = 1 ,   2 ,   1 + t   u →

  3. Portanto, a parametrização será

    4. x ,   y ,   z = 1 ,   2 ,   1 + t   2 ,   1 ,   2 =

    x ,   y ,   z = ( 1 + 2 t ,   2 + t ,   1 + 2 t )

    Passo 3

  4. Da equação da reta, tiramos

    5. x = 1 + 2 t y = 2 + t z = 1 + 2 t

    Como queremos achar a interseção dessa reta com a esfera, vamos substituir essas equação na equação da esfera:

    x 2 + y 2 + z 2 = 102 ⇒ 1 + 2 t 2 + 2 + t 2 + 1 + 2 t 2 = 102

    Logo,

    1 + 4 t + 4 t 2 + 4 + 4 t + t 2 + 1 + 4 t + 4 t 2 = 102

    Portanto,

    9 t 2 + 12 t - 96 = 0 ⇒ 3 t 2 + 4 t - 32 = 0

    Resolvendo essa equação pela fórmula de Báskara:

    t = - 4 ± 16 + 4 ⋅ 3 ⋅ 32 6 = - 4 ± 20 6

    Obtemos então duas soluções:

    t 1 = - 4             e               t 2 = 8 3

    Passo 4

  5. Vamos verificar os resultados obtidos e ver os pontos em que a reta normal intersepta a esfera

Assim, para t 1 = - 4 :

x = z = 1 + 2 ⋅ - 4 = - 7

y = 2 + - 4 = - 2

Já para t 2 = 8 / 3 :

x = z = 1 + 16 3 = 19 3

y = 2 + 8 3 = 14 3

Portanto, temos duas soluções possíveis para o problema:

- 7 ,   - 2 ,   - 7               e               19 3 , 14 3 , 19 3

Resposta

- 7 ,   - 2 ,   - 7               e               19 3 , 14 3 , 19 3

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