Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.7 - Ex. 21
Mostre que tem um número infinito de pontos críticos e que em cada um. A seguir, mostre que tem um mínimo local (e absoluto) em cada ponto crítico.
Passo 1
Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos deu a seguinte função:
E quer que a gente mostre que existem infinitos números pontos críticos e que em todos esses pontos críticos, .
Para isso, precisamos fazer as derivadas parciais com relação à e e igualar os seus resultados a zero para encontrarmos os pontos críticos.
Em seguida, iremos fazer as segundas derivadas parciais e aplicar na seguinte expressão (chamada de teste da segunda derivada):
Com isso, a gente analisa as seguintes proposições:
- Se e , então é um mínimo local;
- Se e , então é um máximo local;
- Se , não é nem máximo e nem mínimo local.
Passo 2
Para começarmos a análise dos máximos e mínimos da função, vamos primeiramente encontrar as derivadas parciais da mesma, se liga:
Vamos então calcular as derivadas parciais:
Encontrando as derivadas de segunda ordem, teremos:
Para que e sejam nulos, o que tem que acontecer é que , não é mesmo?
Sendo assim, então todos os pontos da forma são pontos críticos da função .
Assim como discutido no enunciado, de fato a função apresenta infinitos pontos críticos!
Passo 3
Agora o que temos que fazer é testar esses pontos em , que é dado da seguinte forma:
Mas quem é ? Como já calculamos , então será:
Que é o resultado que esperávamos!
Passo 4
Se manipularmos um pouco nossa função, teremos:
Com , temos que
Substituindo o :
Temos então que:
que é o resultado de um mínimo local (e absoluto, claro). E está aí nossa demonstração! 😊
Resposta
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