Mostre que f x ,   y = x 2 + 4 y 2 - 4 x y + 2 tem um número infinito de pontos críticos e que D = 0 em cada um. A seguir, mostre que f tem um mínimo local (e absoluto) em cada ponto crítico.

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos deu a seguinte função:

f x ,   y = x 2 + 4 y 2 - 4 x y + 2

E quer que a gente mostre que existem infinitos números pontos críticos e que em todos esses pontos críticos, D = 0 .

Para isso, precisamos fazer as derivadas parciais com relação à x e y e igualar os seus resultados a zero para encontrarmos os pontos críticos.

Em seguida, iremos fazer as segundas derivadas parciais f x x ,   f x y ,   f y y e aplicar na seguinte expressão (chamada de teste da segunda derivada):

D x , y = f x x ⋅ f y y - f x y x , y 2

Com isso, a gente analisa as seguintes proposições:

  • Se D > 0 e f x x x , y > 0 , então f x , y é um mínimo local;
  • Se D > 0 e f x x x , y < 0 , então f x , y é um máximo local;
  • Se D < 0 , não é nem máximo e nem mínimo local.

Passo 2

Para começarmos a análise dos máximos e mínimos da função, vamos primeiramente encontrar as derivadas parciais da mesma, se liga:

f x ,   y = x 2 + 4 y 2 - 4 x y + 2

Vamos então calcular as derivadas parciais:

f x = 2 x - 4 y

f y = 8 y - 4 x

Encontrando as derivadas de segunda ordem, teremos:

f x x = 2

f y y = 8

Para que f x e f y sejam nulos, o que tem que acontecer é que y = 1 2 x , não é mesmo?

Sendo assim, então todos os pontos da forma x o , 1 2 x o são pontos críticos da função f .

Assim como discutido no enunciado, de fato a função apresenta infinitos pontos críticos!

Passo 3

Agora o que temos que fazer é testar esses pontos em D , que é dado da seguinte forma:

D x ,   y = f x x ⋅ f y y - f x y x ,   y 2

Mas quem é f x y ? Como já calculamos f x , então f x y será:

f x y = - 4

D x ,   y = 2 ⋅ 8 - - 4 2

D x ,   y = 0

Que é o resultado que esperávamos!

Passo 4

Se manipularmos um pouco nossa função, teremos:

f x ,   y = x 2 + 4 y 2 - 4 x y + 2

f x ,   y = x - 2 y 2 + 2

Com y = 1 2 x , temos que

f x ,   y = x - 2 y 2 + 2

Substituindo o y :

f x , y = x - 2 1 2 x 2 + 2

Temos então que:

f x ,   y = 2

que é o resultado de um mínimo local (e absoluto, claro). E está aí nossa demonstração! 😊

Resposta

Ver o resultado

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados