Determine os valores máximo e mínimo absolutos de no conjunto .

, é a região triangular fechada com vértices , e .

Para encontrar os pontos críticos precisamos encontras as derivadas e primeiramente, de forma que

Derivando em , fica constante:

Dessa forma, como os pontos críticos são pontos onde , temos o seguinte

E ainda

Assim, o único ponto crítico de é . Note que esse ponto está no interior de . Ele é um dos candidatos a extremos absoluto!

Agora vamos olhar para a fronteira de . Primeiro para , em que . Substituindo essa relação na expressão para , obtemos uma função de uma variável apenas:

Ou ainda

Sabemos que está restrita ao intervalo . Um possível candidato a extremo dessa função é obtido fazendo :

Assim, substituindo esse valor de na expressão de que tínhamos definido, descobrimos um novo candidato a extremo de : o ponto .

Agora vamos repetir o processo para as demais partes da fronteira! Para a parte temos que , de modo que

Assim, implica

Portanto, o candidato aqui é o ponto

Por fim, na fronteira com :

Que é a mesma expressão de antes, logo o ponto crítico é e o candidato a extremo de é .

Já temos então quatro candidatos a extremos absolutos de . Mas ainda falta considerar os extremos das fronteiras: as pontas do triângulo! Assim, todos os candidatos a extremos globais são:

O que temos que fazer agora é avaliar o valor da função em cada um desses pontos, dessa forma a gente o maior valor que encontrarmos será o ponto de máximo e analogamente também teremos o ponto de mínimo!

Temos

De forma que

Desta forma, o mínimo absoluto ocorre em enquanto o máximo ocorre em e .