Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.7 - Ex. 29
Determine os valores máximo e mínimo absolutos de no conjunto .
, é a região triangular fechada com vértices , e .
Passo 1
O problema pede para encontrarmos os extremos absolutos de no conjunto . Como é contínua e é fechado e limitado, o teorema do valor extremo garante que a função tem máximo e mínimo global nesse conjunto!
Os candidatos a extremos globais serão os pontos críticos de no interior de junto com os valores extremos de na fronteira de .
Neste caso, é o triangulo desenhado a seguir:
E dessa forma a gente pode definir a fronteira três segmentos de reta
Dessa forma a gente so precisa encontrar os pontos críticos dessa função que estejam dentro da fronteira, bem como analisar os demais pontos contidos nela!
Passo 2
Para encontrar os pontos críticos precisamos encontras as derivadas e primeiramente, de forma que
Derivando em , fica constante:
Dessa forma, como os pontos críticos são pontos onde , temos o seguinte
E ainda
Assim, o único ponto crítico de é . Note que esse ponto está no interior de . Ele é um dos candidatos a extremos absoluto!
Passo 3
Agora vamos olhar para a fronteira de . Primeiro para , em que . Substituindo essa relação na expressão para , obtemos uma função de uma variável apenas:
Ou ainda
Sabemos que está restrita ao intervalo . Um possível candidato a extremo dessa função é obtido fazendo :
Assim, substituindo esse valor de na expressão de que tínhamos definido, descobrimos um novo candidato a extremo de : o ponto .
Passo 4
Agora vamos repetir o processo para as demais partes da fronteira! Para a parte temos que , de modo que
Assim, implica
Portanto, o candidato aqui é o ponto
Passo 5
Por fim, na fronteira com :
Que é a mesma expressão de antes, logo o ponto crítico é e o candidato a extremo de é .
Já temos então quatro candidatos a extremos absolutos de . Mas ainda falta considerar os extremos das fronteiras: as pontas do triângulo! Assim, todos os candidatos a extremos globais são:
Passo 6
O que temos que fazer agora é avaliar o valor da função em cada um desses pontos, dessa forma a gente o maior valor que encontrarmos será o ponto de máximo e analogamente também teremos o ponto de mínimo!
Temos
De forma que
Desta forma, o mínimo absoluto ocorre em enquanto o máximo ocorre em e .
Resposta
Mínimo absoluto
Máximo absoluto