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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.7 - Ex. 7

Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.

f x , y = ( x - y ) ( 1 - x y )

Passo 1

A questão pede para acharmos os máximos e mínimos locais da função dada. Para isso, vamos encontrar primeiro os pontos críticos, derivando e igualando a zero. E depois fazer o teste da segunda derivada!

Nesse problema, nossa função é

f x , y = ( x - y ) ( 1 - x y )

f x , y = x - x 2 y - y + x y 2

Passo 2

Tomando as derivadas parciais de primeira ordem:

f x = 1 - 2 x y + y 2

f y = - x 2 - 1 + 2 x y

Os pontos críticos são obtidos fazendo f x = f y = 0 . Assim,

f x = 1 - 2 x y + y 2 = 0

2 x y = 1 + y 2

x = 1 2 y + y 2

Substituindo isso na expressão f y = 0 :

f y = - 1 2 y + y 2 2 - 1 + 2 1 2 y + y 2 y = 0

Assim,

- 1 4 y 2 - 1 2 - y 2 4 - 1 + 1 + y 2 = 0

3 y 2 4 - 1 2 - 1 4 y 2 = 0

Multiplicando a equação por y 2 :

3 y 4 4 - y 2 2 - 1 4 = 0

3 y 4 - 2 y 2 - 1 = 0

Resolvendo a equação, temos que em y = ± 1 , há um ponto critico. Vamos achar o ponto em x ! Substituindo em:

x = 1 2 y + y 2

Quando y = - 1 , temos x = - 1 , enquanto para y = 1 , obtemos x = 1 . Assim, os pontos críticos de f são

- 1 ,   - 1           e             ( 1 ,   1 )

Passo 3

Para o teste da segunda derivada, tomamos as segundas derivadas:

f x x = - 2 y

f y y = 2 x

f x y = f y x = - 2 x + 2 y

Assim, o determinante hessiano será

D = f x x f x y f y x f y y = - 2 y - 2 x + 2 y - 2 x + 2 y 2 x

Logo,

D = - 4 x y - 4 x 2 + 4 y 2 - 8 x y = - 4 x 2 - 4 y 2 + 4 x y

Tanto para x = y = 1 como para x = y = - 1 :

D = - 4 - 4 + 4 = - 4 < 0

Como D < 0 , esses dois pontos são pontos de sela da função!

Resposta

- 1 ,   - 1   e     1 ,   1

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