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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.3 - Ex. 16 b

Seja f ( x , y ) de classe   C 2 e seja ( x 0 ,   y 0 , z 0 ) ponto no interior D f . Suponha que ( x 0 , y 0 , z 0 ) ponto crítico de f . Prove:

  1. ∂ 2 f ∂ x 2 x 0 , y 0 , z 0 ≤ 0 ,   ∂ 2 f ∂ y 2 x 0 , y 0 , z 0 ≤ 0 ,   ∂ 2 f ∂ z 2 x 0 , y 0 , z 0 ≤ 0   é uma condição necessária para o ponto crítico x 0 , y 0 , z 0 ser mínimo local de f .

Passo 1

Vamos calcular a hessiana,

H = ∂ 2 f ∂ x 2 ∂ 2 f ∂ x ∂ y   ∂ 2 f ∂ x ∂ z   ∂ 2 f ∂ x ∂ y   ∂ 2 f ∂ y 2 ∂ 2 f ∂ y ∂ z   ∂ 2 f ∂ x ∂ z   ∂ 2 f ∂ y ∂ z   ∂ 2 f ∂ z 2 ⟹

H =   ∂ 2 f ∂ x 2 ⋅   ∂ 2 f ∂ y 2 ⋅   ∂ 2 f ∂ z 2 +   ∂ 2 f ∂ x ∂ y   ⋅   ∂ 2 f ∂ y ∂ z   ⋅   ∂ 2 f ∂ x ∂ z   +   ∂ 2 f ∂ x ∂ z   ⋅   ∂ 2 f ∂ x ∂ y   ⋅   ∂ 2 f ∂ y ∂ z   -   ∂ 2 f ∂ x ∂ z   ⋅   ∂ 2 f ∂ y 2 ⋅   ∂ 2 f ∂ x ∂ z   -   ∂ 2 f ∂ x ∂ y   ⋅   ∂ 2 f ∂ z 2 ⋅   ∂ 2 f ∂ x ∂ y     -   ∂ 2 f ∂ x 2 ⋅   ∂ 2 f ∂ y ∂ z   ⋅   ∂ 2 f ∂ y ∂ z  

E,

H 1 = ∂ 2 f ∂ x 2 ∂ 2 f ∂ x ∂ y   ∂ 2 f ∂ x ∂ y   ∂ 2 f ∂ y 2 =   ∂ 2 f ∂ x 2 ⋅   ∂ 2 f ∂ y 2 -   ∂ 2 f ∂ x ∂ y   ⋅   ∂ 2 f ∂ x ∂ y  

Como ∂ 2 f ∂ x 2 x 0 , y 0 , z 0 ≤ 0 ,   ∂ 2 f ∂ y 2 x 0 , y 0 , z 0 ≤ 0 ,   ∂ 2 f ∂ z 2 x 0 , y 0 , z 0 ≤ 0 . Temos que H < 0   e H 2 < 0 . Portanto, x 0 , y 0 , z 0 é ponto de mínimo.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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