Seja f(x, y) de classe C^2 e seja (x0, y0, z0) ponto no interior D f . Suponha que (x_0, y_0, z_0) ponto crítico de f . Prove:

  1. ∂²f/∂x² (x₀, y₀, z₀) ≤ 0, ∂²f/∂y² (x₀, y₀, z₀) ≤ 0, ∂²f/∂z² (x₀, y₀, z₀) ≤ 0 é uma condição necessária para o ponto crítico (x₀, y₀, z₀) ser mínimo local de f .

Passo 1

Vamos calcular a hessiana,

H = ∂ 2 f ∂ x 2 ∂ 2 f ∂ x ∂ y   ∂ 2 f ∂ x ∂ z   ∂ 2 f ∂ x ∂ y   ∂ 2 f ∂ y 2 ∂ 2 f ∂ y ∂ z   ∂ 2 f ∂ x ∂ z   ∂ 2 f ∂ y ∂ z   ∂ 2 f ∂ z 2 ⟹

H =   ∂ 2 f ∂ x 2 ⋅   ∂ 2 f ∂ y 2 ⋅   ∂ 2 f ∂ z 2 +   ∂ 2 f ∂ x ∂ y   ⋅   ∂ 2 f ∂ y ∂ z   ⋅   ∂ 2 f ∂ x ∂ z   +   ∂ 2 f ∂ x ∂ z   ⋅   ∂ 2 f ∂ x ∂ y   ⋅   ∂ 2 f ∂ y ∂ z   -   ∂ 2 f ∂ x ∂ z   ⋅   ∂ 2 f ∂ y 2 ⋅   ∂ 2 f ∂ x ∂ z   -   ∂ 2 f ∂ x ∂ y   ⋅   ∂ 2 f ∂ z 2 ⋅   ∂ 2 f ∂ x ∂ y     -   ∂ 2 f ∂ x 2 ⋅   ∂ 2 f ∂ y ∂ z   ⋅   ∂ 2 f ∂ y ∂ z  

E,

H 1 = ∂ 2 f ∂ x 2 ∂ 2 f ∂ x ∂ y   ∂ 2 f ∂ x ∂ y   ∂ 2 f ∂ y 2 =   ∂ 2 f ∂ x 2 ⋅   ∂ 2 f ∂ y 2 -   ∂ 2 f ∂ x ∂ y   ⋅   ∂ 2 f ∂ x ∂ y  

Como ∂ 2 f ∂ x 2 x 0 , y 0 , z 0 ≤ 0 ,   ∂ 2 f ∂ y 2 x 0 , y 0 , z 0 ≤ 0 ,   ∂ 2 f ∂ z 2 x 0 , y 0 , z 0 ≤ 0 . Temos que H < 0   e H 2 < 0 . Portanto, x 0 , y 0 , z 0 é ponto de mínimo.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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