Enunciado

Encontre o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x y 4 x 4 + y 8

Passo 1

Fala aí, tudo joia? O enunciado nos deu o seguinte limite:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x y 4 x 4 + y 8

Vamos ver se esse limite existe ou não. Como não tem como fatorar ou usar alguma propriedade do limite, a gente vai testar o limite por dois caminhos diferentes.

Se por dois caminhos diferentes os limites derem diferentes, é porque o limite não existe! Vamos lá então?

Passo 2

Para sabermos se existe limite, vamos aproximar f ( x , y ) ao longo do eixo x :

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , 0 = x ⋅ 0 x 2 + 0 8

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ f x , 0 = 0

Passo 3

Vamos analisar a aproximação pela curva x = y 4 :

lim x , y → 0,0 ⁡ f y 4 , y = y 4 y 4 ( y 4 ) 2 + y 8

lim x , y → 0,0 ⁡ f y 4 , y = y 8 2 y 8

Cortando os termos iguais, obtemos:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ f y 4 , y = 1 2

Como f ( x , y ) tem limites diferentes ao longo de duas diferentes linhas, o limite não existe!

Resposta

O limite não existe.

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