Enunciado

Esboce o vetor gradiente ∇ f 4,6 para a função f para qual as curvas de nível são mostradas abaixo. Explique como você escolheu a direção e o sentido desse vetor.

Passo 1

Oie, abaixo a gente vai resolver essa atividade.

A gente tem aqui as curvas de nível da função f e a gente precisa esboçar aqui o vetor gradiente:

∇ f 4,6

Lembre-se que o vetor gradiente é dado por:

∇ f 4,6 = f x , f y , f z

O vetor gradiente sempre aponta na direção do maior aumento da função, ou seja, perpendicular à superfície de nível.

Observando as superfícies de nível, percebemos que à medida que nos movemos perpendicularmente �� linha de nível, os valores aumentam. É a partir disso que iremos construir o que queremos.

Passo 2

Se colocarmos o ponto inicial do vetor gradiente ∇ f ( 4,6 ) em ( 4,6 ) , o vetor será perpendicular a curva de nível de f , que inclui ( 4,6 ) , logo nós devemos esboçar uma porção da curva de nível através de ( 4,6 ) e desenhar a linha perpendicular a curva neste ponto.

O vetor gradiente é paralelo a esta linha, que aponta na direção de funções crescentes. E com um comprimento igual ao máximo do valor da derivada direcional de f em ( 4,6 ) .

Podemos estimar este comprimento encontrando a taxa média de mudança de variação de direção do gradiente. A linha intersecta as linhas de contorno correspondentes a - 2 e - 3 e com distância estimada de 0,5 unidades.

Assim, a taxa de mudança é aproximadamente,

- 2 - ( - 3 ) 0,5 = 2

e o comprimento do vetor gradiente é 2 .

Resposta

A taxa de mudança é aproximadamente, - 2 - ( - 3 ) 0,5 = 2 , e o comprimento do vetor gradiente é 2

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Determine o gradiente de f .Calcule o gradiente no ponto P .Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u f x , y , z = x e 2 y z P 3,0 , 2 u = 2 3 ,- 2 3 , 1 3
Seja f (x , y) = x^2 - y^2 . Represente geometricamente grad f (x_0 , y_0) , sendo(x_0 , y_0) = (1,1)
Calcule grad f (x , y) sendo f (x , y) = x^2 y
Calcule grad f (x , y) sendo f (x , y) = (x)/(y)
Defina gradiente de uma função de três variáveis. Calcule ∇ f x , y , z sendo f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2