57 - Mostre que todo plano que é tangente ao cone z^2 = x^2 + y^2 passa pela origem.

Passo 1

Então, galera. Nessa questão nós temos a equação do cone

z 2 = x 2 + y 2

E queremos mostrar que todo plano tangente a ele vai passar pela origem, ou seja, pelo ponto 0,0 , 0 .  

Assim, vamos precisar determinar a equação do plano tangente ao cone e depois verificaremos se o ponto 0,0 , 0 está nesse plano.

Beleza? Vamos lá...

Passo 2

Para encontrarmos uma equação do plano tangente, segundo a seção 14.6 do Stewart devemos utilizar a seguinte expressão, pessoal:

F x x o ,   y o ,   z o x - x o + F y x o ,   y o ,   z o y - y o + F z x o ,   y o ,   z o z - z o = 0

No qual ( x o ,   y o ,   z o ) é o ponto que nos foi dado e

F x ,   y ,   z = x 2 + y 2 - z 2

Precisamos calcular as derivadas parciais F x ,   F y ,   F z .

Derivando com relação a x :

F x = 2 x

Derivando com relação a y :

F x = 2 y

Derivando com relação a z :

F x = - 2 z

Agora devemos substituir esse resultado na equação do plano tangente.

Passo 3

Suponha que ( x 0 ,   y 0 ,   z 0 ) seja um ponto do cone

x ² + y ² - z 2 = 0 .

A equação do plano tangente do cone neste ponto é:

2 x 0 x + 2 y 0 y - 2 z 0 z = 2 ( x 0 2 + y 0 2 - z 0 2 )

Porém,   x 0 2 + y 0 2 - z 0 2 = 0 (pela equação do cone).

Então, o plano tangente é dado por:

2 x 0 x + 2 y 0 y - 2 z 0 z = 0

A origem x ,   y ,   z = ( 0 ,   0 ,   0 ) está contida nesse plano!

Resposta

A origem x ,   y ,   z = ( 0 ,   0 ,   0 ) está contida no plano.

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