Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.6 - Ex. 57
57 - Mostre que todo plano que é tangente ao cone passa pela origem.
Passo 1
Então, galera. Nessa questão nós temos a equação do cone
E queremos mostrar que todo plano tangente a ele vai passar pela origem, ou seja, pelo ponto
Assim, vamos precisar determinar a equação do plano tangente ao cone e depois verificaremos se o ponto está nesse plano.
Beleza? Vamos lá...
Passo 2
Para encontrarmos uma equação do plano tangente, segundo a seção 14.6 do Stewart devemos utilizar a seguinte expressão, pessoal:
No qual é o ponto que nos foi dado e
Precisamos calcular as derivadas parciais .
Derivando com relação a :
Derivando com relação a :
Derivando com relação a :
Agora devemos substituir esse resultado na equação do plano tangente.
Passo 3
Suponha que seja um ponto do cone
.
A equação do plano tangente do cone neste ponto é:
Porém, (pela equação do cone).
Então, o plano tangente é dado por:
A origem está contida nesse plano!
Resposta
A origem está contida no plano.