Enunciado

57 - Mostre que todo plano que é tangente ao cone z 2 = x 2 + y 2   passa pela origem.

Passo 1

Então, galera. Nessa questão nós temos a equação do cone

z 2 = x 2 + y 2

E queremos mostrar que todo plano tangente a ele vai passar pela origem, ou seja, pelo ponto 0,0 , 0 .  

Assim, vamos precisar determinar a equação do plano tangente ao cone e depois verificaremos se o ponto 0,0 , 0 está nesse plano.

Beleza? Vamos lá...

Passo 2

Para encontrarmos uma equação do plano tangente, segundo a seção 14.6 do Stewart devemos utilizar a seguinte expressão, pessoal:

F x x o ,   y o ,   z o x - x o + F y x o ,   y o ,   z o y - y o + F z x o ,   y o ,   z o z - z o = 0

No qual ( x o ,   y o ,   z o ) é o ponto que nos foi dado e

F x ,   y ,   z = x 2 + y 2 - z 2

Precisamos calcular as derivadas parciais F x ,   F y ,   F z .

Derivando com relação a x :

F x = 2 x

Derivando com relação a y :

F x = 2 y

Derivando com relação a z :

F x = - 2 z

Agora devemos substituir esse resultado na equação do plano tangente.

Passo 3

Suponha que ( x 0 ,   y 0 ,   z 0 ) seja um ponto do cone

x ² + y ² - z 2 = 0 .

A equação do plano tangente do cone neste ponto é:

2 x 0 x + 2 y 0 y - 2 z 0 z = 2 ( x 0 2 + y 0 2 - z 0 2 )

Porém,   x 0 2 + y 0 2 - z 0 2 = 0 (pela equação do cone).

Então, o plano tangente é dado por:

2 x 0 x + 2 y 0 y - 2 z 0 z = 0

A origem x ,   y ,   z = ( 0 ,   0 ,   0 ) está contida nesse plano!

Resposta

A origem x ,   y ,   z = ( 0 ,   0 ,   0 ) está contida no plano.

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Determine a equação do plano tangente à superfície no ponto especificado. z = x e x y ,( 2 ,0 ,2 )
Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização L ( x , y ) da função naquele ponto. f x , y = 1 + x ln ⁡ ( x y - 5 ) ,( 2 ,3 )
Determine a equação do plano tangente à superfície no ponto especificado. z = ln ⁡ ( x - 2 y ) ,( 3 ,1 ,0 )
Determine a equação do plano tangente à superfície no ponto especificado. z = 3 y 2 - 2 x 2 + x ,( 2 ,- 1 ,- 3 )
Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização L ( x , y ) da função naquele ponto. f x , y = y + s e nx y ,( 0 ,3 )